Permütasyon

Permütasyon sorularını ayırt etmek için cümlede geçen ifadelere bakmak gerekir: - Sıralama veya diziliş ifadeleri geçiyorsa, bu tür sorularda permütasyon kullanılır. - Oluşturma, seçme veya seçim gibi ifadeler varsa, bu sorularda kombinasyon kullanılır.

AYT'de permütasyon konusu, "Permütasyon ve Kombinasyon" başlığı altında çıkmaktadır.

123 sayısı, rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 farklı sayı yazılır. Bu sayılar: 1. 123; 2. 132; 3. 321; 4. 312; 5. 213; 6. 231.

3'ün 2'li permütasyonları 6 tanedir. Bu permütasyonlar şunlardır: (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1) ve (3, 2).

547 değişik biçimde yerleştirilebilir. Çözüm: 1. 8 kişiden üçü C(8,3) = 56 farklı şekilde seçilir. 2. Kalan 5 kişiden üçü de C(5,3) = 10 farklı şekilde seçilir. 3. Son olarak, iki kişi C(2,2) = 1 farklı şekilde yerleştirilir. 4. Tüm durumlar: 56 10 1 = 560. 5. İki kişinin aynı odada kalması durumları çıkarılır: 6 + 6 + 1 = 13. 560 - 13 = 547.

4 matematik kitabı ve 5 Türkçe kitabı bir rafa yan yana yerleştirildiğinde: a. Kaç farklı şekilde dizilebilir: Bu kitaplar toplamda 9 kitap yapar ve 9! şeklinde sıralanır. b. Matematik kitapları bir arada olmak koşulu ile kaç farklı şekilde dizilebilir: Matematik kitapları bir kitap gibi kabul edilir ve 5 kitap yapar. Bu durumda 5! . 5! şeklinde sıralanır.

Permütasyon ve kombinasyon konuları, temel özellikleri bilen öğrenciler için genellikle zor değildir. Permütasyon, nesnelerin belirli bir sıralama düzenine göre dizilimini içerir ve bu nedenle sıralamanın önemli olduğu durumlarda kullanılır. Bu konularda zorluk yaşamamak için, formüllerin ve hesaplama yöntemlerinin iyi anlaşılması önemlidir.

Tekrarlı permütasyonda n! (faktöriyel) bulmak için aşağıdaki formül kullanılır: P(n, r) = n^r. Burada: - n, toplam nesne sayısını temsil eder; - r, her bir nesnenin tekrar sayısını ifade eder.

Permütasyonla ilgili örnek sorular: 1. Soru: Bir sınıfta 10 öğrenci var. Bu öğrencilerin sırayla dizilişinin kaç farklı şekli olabilir? Çözüm: Bu, nesnelerin aynı olduğu bir permütasyondur. 10 öğrencinin dizilişinin farklı şekillerini bulmak için 10! sayısını hesaplamamız gerekir: 10! = 3.628.800. 2. Soru: Bir kutuda 3 kırmızı, 2 mavi ve 1 yeşil top var. Bu toplardan 5 tanesini rastgele seçerek dizilişinin kaç farklı şekli olabilir? Çözüm: Nesnelerin farklı olduğu bu permütasyonda, her top için 5 farklı seçenek vardır. Dolayısıyla, toplam diziliş şekli 5^5 = 3.125'tir. 3. Soru: 26 harf kullanılarak bir şifre oluşturuluyor. Bu harflerden 6 tanesini rastgele seçerek dizilişinin kaç farklı şekli olabilir? Çözüm: 26 harfli bir şifrede, her harf için 26 farklı seçenek vardır. Bu durumda, toplam diziliş şekli 26^6 = 4.665.600.000'dir. 4. Soru: 6 arkadaş birlikte bir belediye otobüsüne biniyorlar. Otobüste boş olan 6 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler? Çözüm: İlk arkadaş 6 koltuktan birini 6 değişik şekilde seçip oturabilir. Ardından ikinci arkadaş kalan 5 koltuktan birini 5 değişik şekilde seçip oturabilir ve bu şekilde devam eder. Sonuç olarak, 6 . 5 . 4 = 120 farklı şekilde oturabilirler.

Permütasyonun en zor sorusu olarak kabul edilebilecek tek bir soru yoktur, çünkü bu, kişisel tercihlere ve zorluk seviyesine göre değişebilir. Ancak, permütasyonla ilgili karmaşık hesaplamalar gerektiren bazı sorular şunlardır: Tekrarlı permütasyon soruları. Yüksek faktöriyel içeren sorular. Kısıtlı koşullar içeren sorular.

Bir parayı arka arkaya 4 kez attığınızda 16 farklı sonuç elde edilir. Bu, her atışta iki olası sonuç (yazı veya tura) olduğundan, 2^4 hesaplama yöntemiyle bulunur.

6 öğretmen ve 4 öğrenci, yan yana olmak şartıyla 720 farklı sırada oturabilirler. Bu hesaplamada, 6 öğretmenin ve 4 öğrencinin farklı şekillerde sıralanabileceği durumlar dikkate alınmıştır: 1. Öğretmenlerin sıralanması: 6! = 720 farklı şekilde. 2. Öğrencilerin sıralanması: 4! = 24 farklı şekilde. Toplam sıralama sayısı, bu iki durumun çarpımı ile bulunur: 720 \ 24 = 17280. Ancak, öğretmenlerin yan yana olmaması gerektiği belirtilmediği için bu sayıdan 48 farklı sıralama (2 öğretmenin yan yana olduğu durumlar) çıkarılmalıdır. Sonuç olarak, 17280 - 48 = 720 farklı sıralama elde edilir.

4 basamaklı toplamda 9000 farklı sayı yazılabilir.

10. sınıf permütasyon formülü şu şekildedir: P(n, r) = n! / (n - r)!, burada: - P(n, r), n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonlarını ifade eder, - n!, n faktöriyelini, yani 1'den n'e kadar olan sayıların çarpımını temsil eder.

10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı senaryo 3 sorularını çözmek için aşağıdaki konulara dikkat edilmelidir: 1. Olayların gerçekleşme sayısını hesaplama: Toplama ve çarpma yöntemleri kullanılarak olayların gerçekleşme sayısı hesaplanır. 2. Permütasyon problemleri: Sınırlı sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini açıklayarak permütasyon problemleri çözülür. 3. Binom açılımı: Binom açılımı yapılarak verilen ifadelerin açılımındaki terimler bulunur. 4. Olasılık kavramı: Olasılık kavramı ile ilgili uygulamalar yapılır. 5. Fonksiyonlar: Fonksiyonlarla ilgili problemler çözülür ve fonksiyonların grafikleri yorumlanır. Örnek bir soru ve çözümü: Soru: MALATYA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir? Çözüm: Bu problem permütasyon hesaplaması ile çözülür. 7 harfli kelimelerin yazılma sayısı, harflerin tekrarlanma durumuna göre hesaplanır: P(7, 7) = 7! = 5040 farklı kelime yazılabilir.

İki çeşit permütasyon vardır: 1. Farklı Elemanların Sıralanışı: n elemanlı bir kümenin, birbirinden farklı olacak şekilde r elemanından oluşabilecek dizilişler. 2. Tekrarlı Permütasyon: Özdeş olan elemanlar arasında sıralama yapabilmek için kullanılan formül.

Faktöriyelin zor soruları genellikle aşağıdaki konuları içerir: 1. Faktöriyel içeren denklemler: Faktöriyel terimleri içeren denklemlerde bilinmeyen değerlerin bulunması ve çözüm için sadeleştirme yapılması gereklidir. 2. Permütasyon ve kombinasyon soruları: nPr ve nCr formüllerinin kullanımı ile ilgili sorular. 3. Son basamak soruları: Faktöriyel değerlerinin son basamağının veya son kaç sıfır ile bittiğinin sorulması. 4. Büyük faktöriyel değerleri: Büyük sayılarla işlem yaparken çarpma ve bölme işlemlerinde sadeleştirme kurallarının uygulanması. Bu tür soruları çözmek için faktöriyel işlemlerinin temel kurallarını bilmek ve pratik yapmak önemlidir.

10. sınıf sayma kuralları iki ana yöntemle incelenir: toplama yoluyla sayma ve çarpma yoluyla sayma. 1. Toplama Yoluyla Sayma: İki veya daha fazla olayın gerçekleşme sayılarının toplamını bularak yapılan sayma yöntemidir. 2. Çarpma Yoluyla Sayma: İki veya daha fazla olayın gerçekleşme sayılarının çarpımını bularak yapılan sayma yöntemidir. Ayrıca, permütasyon ve kombinasyon gibi daha karmaşık sayma yöntemleri de 10. sınıf matematik müfredatında yer alır.

Permütasyonda tekrarlı ve tekrarsız durumlar şu şekilde ayırt edilir: 1. Tekrarlı Permütasyon: Bu durumda, bir kümedeki elemanlar birden fazla kez tekrar edebilir ve aynı eleman sonsuz defa düzen içinde yer alabilir. 2. Tekrarsız Permütasyon: Her eleman sadece bir kez kullanılır.

Permütasyonla ilgili 40 soru ve cevapları için aşağıdaki örnekler verilebilir: 1. Soru: Bir sınıfta 10 öğrenci var. Bu öğrencilerin sırayla dizilişinin kaç farklı şekli olabilir? Cevap: 10! = 362880. 2. Soru: Bir kutuda 3 kırmızı, 2 mavi ve 1 yeşil top var. Bu toplardan 5 tanesini rastgele seçerek dizilişinin kaç farklı şekli olabilir? Cevap: 5^5 = 3125. 3. Soru: 26 harf kullanılarak 6 harfli kaç farklı şifre oluşturulabilir? Cevap: 26^6 = 46656000. 4. Soru: 7 çeşit soğuk içecek ve 5 çeşit sıcak içecek ikram edilen bir toplantıda, toplantıya katılan bir kişi içeceklerden kaç farklı şekilde seçim yapabilir? Cevap: 5 + 7 = 12. 5. Soru: 3 farklı pantolon, 4 farklı ceket ve 5 farklı gömlekten oluşan bir gardıropta, bir pantolon, bir ceket ve bir gömlek kaç farklı şekilde giyilebilir? Cevap: 3.4.5 = 60.