Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, Selim Hoca tarafından sunulan bir matematik eğitim içeriğidir. Eğitmen, türev konusunu detaylı şekilde anlatmakta ve çıkmış sınav sorularını çözmektedir.
- Videoda türev alma kuralları, bileşke fonksiyonların türevleri, köklü fonksiyonların türevleri ve türevin tanımlı olmayan noktaları gibi temel konular ele alınmaktadır. Ayrıca 2009-2019 yılları arasında AYT ve LYS sınavlarından çıkmış türev soruları adım adım çözülmektedir. Video, türevin grafiklerle ilişkisi, maksimum-minimum problemleri ve ekstremum noktaları gibi konuları da kapsamaktadır.
- Eğitmen, türevin polinomlarla uygulaması, normal denklemlerin türev yardımıyla bulunması, teğet doğruları, artan-azalan aralıklar ve maksimum-minimum değerlerinin bulunması gibi konuları örnek sorular üzerinden açıklamaktadır. Özellikle internet şirketi kazanç optimizasyonu, kristal üretim maliyeti, dikdörtgen alanları ve parabol üzerindeki noktalar gibi pratik problemlerin çözümü detaylı olarak gösterilmektedir.
- 00:09Türev Konusuna Giriş
- Selim hocanın dersinde türev konusundan çıkmış sorular incelenecek.
- Türev konusu C, D, E, F, G ve H maddeleri olmak üzere iki, dört, altı başlık altında ayrılmış.
- Ders programı türev alma kuralları, türev yardımıyla normal denklemleri bulma, türevin polinom uygulamaları, artan azalanlık, maksimum-minimum problemleri olmak üzere hazırlanmış.
- 01:082019 AYT Sorusu Çözümü
- Soruda k bir gerçel sayı olmak üzere f ve g fonksiyonlarının türevleri verilmiş.
- f'(x) = g'(x²) + 3x² formülü kullanılarak f'(-1) = 2 ve g'(-1) = -2 + 3k eşitlikleri elde edilmiş.
- Çözüm sonucunda k = 2 olarak bulunmuş.
- 03:10Bileşke Fonksiyon Türevi Sorusu
- g(f(x)) bileşke fonksiyonunun türevi g'(f(x)) × f'(x) formülüyle hesaplanmıştır.
- g'(x) = 0 eşitliğini sadece x = 2 değeri sağladığını belirtmiş.
- f(x) = x² + x - 4 fonksiyonu kullanılarak g'(f(x)) = 0 koşulunu sağlayan x değerleri bulunmuş ve çarpımları 3 olarak hesaplanmış.
- 06:19Köklü Fonksiyonun Türevi
- Köklü fonksiyonun türevi alırken, fonksiyonun aynısı altına yazılır ve başına 2 yazılır.
- f(x) = (x + x^(3/2))^2 fonksiyonunun türevi alındı ve f'(1) değeri hesaplandı.
- Alternatif çözüm olarak f(x) = (x + x^(3/2))^2 fonksiyonu türevlenerek aynı sonuç elde edildi.
- 08:14LYS Sorusu Çözümü
- Soruda x = 1 noktasında türevi olmayan fonksiyon sorulmuş.
- f(x) = x - 1 doğrusal fonksiyonunun her yerde türevi olduğu belirtildi.
- g(x) = |x - 1| mutlak değer fonksiyonunun grafiği çizildi.
- 08:59Türevin Varlığı ve Yokluğu
- Mutlak değerin içerisindeki ifadeyi sıfır yapan noktalarda, birinci dereceden köklere sahip fonksiyonların türevi yoktur.
- Daha yüksek dereceli köklere sahip fonksiyonlarda (örneğin x-1'in karesi veya x-3'ün beşinci kuvveti), türev vardır ve sıfırdır.
- Köklü fonksiyonların içindeki ifadeyi sıfır yapan değerlerde de türevi yoktur.
- 10:53Bileşke Fonksiyon Türevi
- Bileşke fonksiyon türevi hesaplanırken, iç fonksiyonun türevi ile dış fonksiyonun türevi çarpılır.
- Türev sıfır olduğu durumda, fonksiyonun sabit olduğu noktalar bulunabilir.
- Verilen problemde türev sıfır olduğu durumda x yerine -a yazarak ve g'(x) türevini hesaplayarak a değeri 3/2 olarak bulunmuştur.
- 12:59Türev Yardımıyla Normal Denklemleri Bulma
- Türev yardımıyla normal denklemleri bulma ve eğim yorumlama konusu ele alınmıştır.
- 2019 AYT sorusu incelenmiştir ve doğrusal f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
- 13:17Türevlerin Mutlak Değerlerinin Sıralaması
- Koordinat düzleminde verilen f, g ve h fonksiyonlarının türevlerinin mutlak değerlerinin grafikleri karşılaştırılarak sıralama yapılacaktır.
- Doğrusal fonksiyonların türevleri eğimlerini verir ve eğimlerin mutlak değerleri karşılaştırılarak fonksiyonlar sıralanır.
- Kırmızı eğri (f(x)) en dik olduğu için en büyük eğim değerine sahip, mavi eğri (g(x)) ikinci en büyük eğime sahip, kahverengi eğri (h(x)) ise en küçük eğime sahip olduğundan g > f > h sıralaması elde edilir.
- 16:49Türev ve Teğet Doğrusu Problemi
- 2009 AYT sınavında verilen bir soruda, f(x) fonksiyonunun grafiğine (2,2) noktasında çizilen teğet doğrusunun eğimi ve g(x)=bx³ fonksiyonunun grafiğine (1,1) noktasında çizilen teğet doğrusunun eğimi eşitlenerek a×b çarpımı bulunur.
- f(x) fonksiyonunun türevi f'(x)=2x+a, g(x) fonksiyonunun türevi g'(x)=3bx² olup, f'(2)=g'(1) denklemi kurulur.
- Analitik geometri yöntemleriyle eğim hesabı yapılarak ikinci denklem elde edilir ve denklem sistemi çözülür, a×b=4 sonucu bulunur.
- 21:21Parabol ve Teğet Doğrusu Problemi
- 2016 LYS sınavında verilen bir soruda, y=ax²+bx parabolünün grafiğine (1,2) noktasında çizilen teğet doğrusu y eksenini (0,1) noktasında kesmektedir.
- Parabol denklemine (1,2) noktası yerleştirilerek a+b=2 denklemi elde edilir.
- Teğet doğrusunun eğimi 1 olduğu bilgisinden f'(1)=2a+b=1 denklemi kurulur ve denklem sistemi çözülerek a×b=-3 sonucu bulunur.
- 23:47Türev ve Teğet Doğrusu Problemi
- 2015 LYS sınavında verilen bir soruda, y=4x-2 doğrusu f(x)=x⁴+1 fonksiyonunun grafiğine P(a,b) noktasında teğet doğrudur.
- Teğet doğrusunun eğimi 4 olduğu bilgisinden f'(x)=4x³ denklemi elde edilir ve f'(a)=4 denklemi çözülerek a=1 bulunur.
- a=1 değeri parabol ve doğrunun denklemlerine yerleştirilerek b=2 bulunur ve a+b=3 sonucu elde edilir.
- 26:08Polinomlarla Türev Uygulaması
- Bir polinomun (x-2)² ile tam bölündüğünde, aynı zamanda (x-2) ile de tam bölünür ve türevi de (x-2) ile tam bölünür.
- Eğer polinom (x-2)³ ile tam bölünüyorsa, türevi (x-2)² ile, ikinci türevi (x-2) ile tam bölünür.
- Türevin sıfır olduğu noktalar, polinomun ekstremum noktalarıdır.
- 27:20Polinom Denklem Kurma Sorusu
- Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir polinomun kökleri -5, 2 ve a olarak belirlenmiştir.
- Polinomun x=0 noktasında ekstremum olduğu bilgisinden, türevinin x=0'da sıfır olduğu çıkarılır.
- Türev hesaplaması yapılarak a=-10/3 olarak bulunmuş ve polinomun üç kökü -5, 2 ve -10/3 olarak belirlenmiştir.
- 29:50Türevle Artan Azalan Aralıklar
- Bir fonksiyonun türevinin grafiği verildiğinde, kökleri ve x ekseninin altından üstüne geçtiği noktalara dikkat edilmelidir.
- Türevin pozitif olduğu aralıklarda fonksiyon artan, negatif olduğu aralıklarda azandır.
- Türevin sıfır olduğu noktalar, fonksiyonun ekstremum noktalarıdır.
- 32:09Türev Grafiği Soruları
- Türevin grafiği sürekli negatif olduğunda, fonksiyon sürekli azalandır ve yerel minimum değeri yoktur.
- Türevin grafiği kırılmakta ise, o noktada ikinci türev tanımsızdır.
- Türevin işaret değiştirdiği noktalar, fonksiyonun ekstremum noktalarıdır.
- 33:36Sürekli Fonksiyon ve Türev
- Sürekli bir fonksiyonun türevinin grafiği verildiğinde, fonksiyonun artan ve azalan aralıkları türevin işaretine göre belirlenir.
- Türevin sıfır olduğu noktalar, fonksiyonun yerel maksimum veya minimum noktalarıdır.
- Sürekli bir fonksiyonun türevi kırılmakta ise, o noktada ikinci türev tanımsızdır.
- 38:54Türev ve Ekstremum Noktaları
- Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları x=0, x=-2 ve x=2'de bulunmaktadır.
- Türev grafiği parabol şeklinde tanımlanmış ve f'(x) = (x+a)(x) şeklinde ifade edilmiştir.
- Türevin işaret değiştirdiği yerlerde fonksiyonun ekstremum noktaları bulunur; f'(x)>0 ise fonksiyon artan, f'(x)<0 ise azalandır.
- 41:46Fonksiyon Grafiği Analizi
- Fonksiyonun grafiğinde 4 aralığında mutlak maksimum değeri yoktur çünkü en büyük değer 4'e çok yakın bir sayıdır.
- Fonksiyonda f(x)=2 değerine iki farklı x değeri karşılık gelmektedir.
- f(1-) limiti 1'dir çünkü fonksiyon 1 noktasından soldan yaklaşırken 1 değerine ulaşmaktadır.
- 44:13Maksimum Minimum Problemleri
- Bir internet şirketi, aylık internet ücretinde her 5 liralık artış için müşteri sayısında 50 azalma olmaktadır.
- Şirketin elde edilecek toplam gelirin maksimum olması için aylık internet ücreti 70 TL olarak belirlenmelidir.
- Bir küp şeklindeki kristalin üretim maliyeti hacim üzerinden birim küp başına 5 TL, satış fiyatı ise yüzey alanı üzerinden birim kare başına 20 TL'dir.
- Kristalin satışından elde edilen karın maksimum olması için kristalin bir ayrıtı 16 birim olmalıdır.
- 50:112016 LYS Sorusu Çözümü
- Dik koordinat düzleminde iki köşesi x ekseni üzerinde, diğer iki köşesi y = 27 - x² parabolü üzerinde bulunan en büyük alana sahip dikdörtgenin çevresi isteniyor.
- Dikdörtgenin alan denklemi A = 2a(27 - a²) şeklinde bulunuyor ve türev alınarak maksimum alan için a = 3 bulunuyor.
- Çevre hesabı yapıldığında sonuç 48 birim olarak bulunuyor.
- 53:002013 LYS Sorusu Çözümü
- Bir tur şirketi kişi başına 140 TL ücret talep ediyor ve 80'in üzerindeki her kişi için tüm katılımcılara 50 kuruş geri ödüyor.
- Katılımcı sayısı x olursa, şirketin elde edeceği gelir fonksiyonu 140x - (x-80)×1.5 olarak hesaplanıyor.
- Gelir fonksiyonunun türevi alınarak maksimum gelir için 180 katılımcı olduğu bulunuyor.
- 56:312012 LYS Sorusu Çözümü
- y = 6 - x² parabolünün grafiği üzerinde (0,1) noktasına en yakın olan (a,b) noktasının koordinatları isteniyor.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak uzaklık fonksiyonu oluşturuluyor.
- Uzaklık fonksiyonunun türevi alınarak maksimum veya minimum değeri bulunmaya çalışılıyor.
- 58:40Matematik Problemi Çözümü
- Bir matematik problemi çözülürken, ifade içindeki iki a parantezine alınır ve eksi on artı iki a'nın karesi elde edilir.
- Denklem çözülürken iki a kare eksi dokuz eşittir sıfır şeklinde bir denklem elde edilir ve a'nın değeri artı veya eksi üç bölü karekök iki olarak bulunur.
- Fonksiyonun grafiği incelenerek en yakın olduğu noktanın b'si (altı eksi a kare) hesaplanır ve sonucun 3/2 olduğu belirtilir.
- 1:00:46LYS Sorusu Çözümü
- 2011 LYS sorusunda (1,2) noktasından geçen ve negatif eğimli bir doğru ile koordinat eksenleri arasında kalan üçgensel bölgenin alanının en az olması isteniyor.
- Üçgenin alan formülü A×B/2 olarak hesaplanır ve benzerlik kullanılarak A/(A-2) = 1/2 ilişkisi bulunur.
- Alan formülü A²/(2A-4) olarak sadeleştirilir ve türev alınarak minimum değeri bulunur, sonuç 4 birim kare olarak hesaplanır.
- 1:04:03Dersin Sonu
- Türevin çıkmış sorularının çözümü tamamlanmış olup, şimdi integralin çıkmış sorularıyla devam edileceği belirtiliyor.
- Öğrencilere tüm çıkmış soruları mutlaka çözmeleri tavsiye ediliyor.