Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik dersi formatında olup, bir eğitmen tarafından topoloji konusunda kapalı küme kavramı anlatılmaktadır.
- Videoda kapalı küme kavramı tanımlanarak açık küme kavramıyla karşılaştırılmaktadır. Eğitmen, kapalı kümenin tanımını vererek, bir kümenin tümleyeni açık ise kapalı küme olduğunu açıklar. Boş küme ve X kümesinin her zaman hem açık hem kapalı olduğu, bir kümenin açık veya kapalı olması gerektiği, ancak her alt kümenin açık veya kapalı olması gerektiği olmadığı örneklerle anlatılmaktadır. Video, kapalılar ailesi (K) ve açıklar ailesi (T) arasındaki ilişkiyi göstererek, bir kümenin açık veya kapalı olması durumunda tümleyeni de açık veya kapalı olduğunu ve bunların birbirine nasıl dönüştürülebileceğini açıklamaktadır.
- 00:02Kapalı Küme Kavramı
- Topoloji ailesinin elemanlarına açık kümeler denirken, kapalı küme kavramından bahsedilecek.
- Bir X kümesi üzerinde T topolojisi verilmiş olsun, F kümesi X'in bir alt kümesi ise, F'nin tümleyeni (X-F) T ailesinin bir elemanı ise, F kümesine T topolojisine göre X üzerinde bir kapalı küme denir.
- Kapalı küme, tümleyeni açık olan kümeye denir.
- 03:39Boş Küme ve X Kümesi
- Boş küme ve X kümesi her topolojide mutlak manada hem açık hem de kapalı kümelerdir.
- Boş küme X'in tümleyeni, X ise boş kümenin tümleyeni olduğu için, biri açık ise diğeri kapalı olur.
- Reel sayılar kümesi hem açık hem kapalı bir kümedir.
- 07:27Açık ve Kapalı Kümeler Arasındaki İlişki
- X-T topolojik uzayında A kümesi açık ise, X-A kümesi kapalı olacaktır.
- F kümesi kapalı ise, X-F kümesi açık olacaktır.
- Tüm kapalı alt kümelerden oluşan aileyi K ile gösterirsek, T ailesinden K ailesine giden ve her A kümesini X-A kümesine eşleyen fonksiyon birebir ve örtendir.
- 13:19Topolojik Uzaylarda Örnekler
- Bir küme üzerinde birden çok topolojik yapı düşünülebilir, bir küme bir topolojiye göre kapalı olabilirken, başka bir topolojiye göre kapalı olmayabilir.
- Topolojik uzayda her alt kümenin açık ya da kapalı olması gerekmez, bazı kümeler ne açık ne kapalı olabilir.
- Örneğin, reel sayıların alışılmış topolojisinde (1,2) açık aralığı, [1,2] kapalı aralığı, (1,2] yarı açık yarı kapalı aralığıdır.