Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik dersi formatında tam diferansiyel denklemler konusunu anlatan eğitim içeriğidir.
- Video, birinci derece diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemlerinden biri olan tam diferansiyel denklemleri detaylı şekilde ele almaktadır. İçerikte tam diferansiyel denklemlerin tanımı, özellikleri ve bir diferansiyelin tam olup olmadığını kontrol etme yöntemi (m'nin y'ye göre kısmi türevi ile n'nin x'e göre kısmi türevinin eşit olması) anlatılmaktadır. Ayrıca tam diferansiyel denklemlerin çözüm adımları adım adım gösterilmekte ve iki örnek üzerinden konu pekiştirilmektedir.
- Eğitmen, bir sonraki videoda tam olmayan diferansiyellerde integral çarpanı bulma yöntemini anlatacağını belirtmektedir. Video, diferansiyel denklemlerin çözüm tekniklerini öğrenmek isteyenler için faydalı bir kaynaktır.
- 00:01Tam Diferansiyel Denklemler
- Tam diferansiyel denklemler, birinci derece diferansiyellerin çözüm yöntemlerinden biridir.
- Birinci derece diferansiyellerde şimdiye kadar ayrılabilir diferansiyel denklemler ve integral çarpanı metodu işlenmiş, şimdi üçüncü yöntem olan tam diferansiyel denklemler incelenecektir.
- Tam diferansiyel denklemler, diferansiyel denklemin belirli bir formatta verilmiş halinde bir şartın gerçekleşmesini ister.
- 00:44Tam Diferansiyel Denklemin Formu
- Tam diferansiyel denklemin formu Mdx + Ndy = 0 şeklindedir.
- Her birinci derece diferansiyel denklem, dy/dx yerine yazarak bu formata getirilebilir.
- Bu formatta verilmeyen diferansiyeller de bu formata getirilerek tam diferansiyel çözümü denenebilir.
- 02:41Tam Diferansiyel Denklemin Şartı
- Diferansiyel denklem tam olmak için M'nin y'ye göre kısmi türevi ile N'nin x'e göre kısmi türevi birbirine eşit olmalıdır.
- Kısmi türevde sadece ilgili değişkenin türevi alınır, diğer harfler sabit sayı kabul edilir.
- Diferansiyel denklem tam çıkarsa, Mdx'in integrali ve Ndy'nin integrali aynı sonucu üretir.
- 05:15Tam Diferansiyel Denklemin Çözümü
- Tam diferansiyeller en kolay diferansiyel denklem çözme tekniklerinden biridir, türev ve integrale hakim olunduğunda.
- Diferansiyel tam çıkarsa, M'nin integral sonucu N'nin integral sonucuna eşit çıkmak zorundadır ve bu integralin sonucu diferansiyel denklemin çözümünü verir.
- 06:04Örnek Çözüm
- Örnek: 2xy - 9x² dx + (2y + x² + 1) dy = 0 diferansiyelinin çözümü bulunacaktır.
- M'nin y'ye göre kısmi türevi 2x, N'nin x'e göre kısmi türevi de 2x olduğundan diferansiyel tam çıkıyor.
- Tam diferansiyel olduğunda, Mdx'in integrali ve Ndy'nin integrali birbirine eşit olmalıdır.
- 09:14İntegral Alma ve Çözüm
- Mdx'in x'e göre integrali alınırken y sabit kabul edilir ve sonuç x²y - 3x³ + Cy bulunur.
- Ndy'nin y'ye göre integrali alınırken x sabit kabul edilir ve sonuç y² + x²y + y + Cx bulunur.
- Cy ve Cx değerleri, integral sonuçlarının eşit olması için sadece y'ye bağlı ve sadece x'e bağlı terimler olarak belirlenir.
- 13:20Çözümün Yazımı
- Diferansiyel denklemin çözümü olarak y² + x²y + y - 3x³ = C veya F(x,y) = y² + x²y + y - 3x³ şeklinde yazılabilir.
- Tam diferansiyel denklemin çözümü üç adımdan oluşur: tam diferansiyel kontrolü, integrallerin alınması ve sabitlerin belirlenmesi.
- Farklı örneklerde de aynı çözüm mantığı uygulanır.
- 17:03Tam Diferansiyel Denklemler
- Birinci örnekte, n'nin yeğenin önündekinin x göre türevi alınarak çarpımın türevi hesaplanıyor.
- Türev hesaplaması sonucunda iki y çarpı e üzeri x y kare artı iki x y küp e üzeri x kare bulunuyor.
- Bu sonuçlar birbirine eşit çıkmadığı için diferansiyel tam değil, bu nedenle bu soru tam diferansiyel olarak çözülemiyor.
- 19:22Tam Diferansiyel Denklemin Çözümü
- İkinci soruda 2xy²+4+2x²y-6y=0 diferansiyel denklemi veriliyor ve başlangıç koşulu olarak y=2 belirtiliyor.
- Denklem dx ile çarpılarak M ve N ifadeleri belirleniyor: M=2xy²+4 ve N=2x²y-6.
- M'nin y'ye göre türevi ve N'nin x'e göre türevi hesaplanarak diferansiyelin tam olup olmadığı kontrol ediliyor.
- 21:31Tam Diferansiyel Denklemin Tam Olma Koşulu
- Diferansiyel tam olduğunda, M'nin x'e göre integrali N'nin y'ye göre integraline eşit olmak zorundadır.
- İntegral hesaplamaları sonucunda x²y²+4x+Cy-6y=C çözümü bulunuyor.
- Başlangıç koşulu y=2 kullanılarak C=-12 olarak bulunuyor ve son çözüm x²y²+4x-6y=-12 olarak belirleniyor.
- 24:38Sonraki Videoda Konu
- Bir sonraki videoda tam çıkmayan diferansiyellerde integral çarpanı aranacak.
- İntegral çarpanı bulunabiliyorsa, diferansiyel tam yapılıp çözüm bulunabilir.
- İntegral çarpanı bulunamıyorsa, tam diferansiyel ile çözüm mümkün değildir.