Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik eğitim içeriğidir ve bir eğitmen tarafından Stocks teoremi konusuna örnek bir soru çözümü sunulmaktadır.
- Videoda, yukarı yönlü ve z > 0 şartını sağlayan yarıçapı 4 olan bir küre üzerinde curl f vektör alanının integralinin Stocks teoremi kullanılarak nasıl hesaplanacağı adım adım anlatılmaktadır. Eğitmen önce teoremi açıklayıp, ardından yüzey integralini çizgi integraline dönüştürme sürecini, eğrinin parametrize edilmesini ve integral hesaplamalarını detaylı şekilde göstermektedir. Sonuç olarak, integral hesaplaması yapılarak cevabın -32π olduğu gösterilmektedir.
- Stocks Teoremi Örnek Soru
- Video, Stocks teoremi konusuna örnek bir sorunun çözümünü inceleyecektir.
- Soruda, yukarı yönlü ve z ≥ 0'ı sağlayan, yarıçapı 4 olan bir küre üzerinde F vektör alanı için curl F vektör alanının yüzey integralini Stocks teoremi kullanarak hesaplamak isteniyor.
- Stocks teoremi kullanarak yüzey integralini hesaplamak için çizgi integraline çevirmek gerekir.
- 01:03Stocks Teoremi Formülü
- Stocks teoremi formülü: S yüzeyinde curl F vektör alanının yüzey integrali, C eğrisinde F vektör alanının çizgi integraline eşittir.
- Formülde skaler çarpımlar (product) kullanılır.
- Yüzey integralini hesaplamak için önce C eğrisini parametreze etmek gerekir.
- 02:20Çizgi İntegralinin Hesaplanması
- C eğrisi parametreze edilirken r(t) şeklinde gösterilir ve t'nin sınırları a ile b arasındadır.
- Parametreze edilmiş vektör (r(t)) vektör alanında yerine konulur ve r'(t) ile skaler çarpım hesaplanır.
- Stok teoremi kullanabilmek için C eğrisinin kapalı olması ve saat yönünün tersinde dönüş olması gerekir.
- 04:17Yüzeyin Çizimi ve Eğrinin Belirlenmesi
- S yüzeyi yukarı yönlü, z ≥ 0'ı sağlayan, yarıçapı 4 olan bir küredir.
- Çizgi integralini hesaplayacağımız eğri, z düzlemi üzerindeki sınır eğrisidir ve x-y düzleminde (4, 4, 0) noktasından (4, 4, 0) noktasına çizilir.
- Eğri parametreze edilirken x = 4cos(t), y = 4sin(t), z = 0, t'nin değişim aralığı 0'dan 2π'ye kadar olmalıdır.
- 08:38İntegralin Hesaplanması
- f(r(t)) hesaplanırken r(t) parametreze edildikten sonra x, y, z yerine t'li değerler konulur.
- r'(t) ile skaler çarpım hesaplanır ve sonuç -16 olarak bulunur.
- İntegral 0'dan 2π'ye kadar alınır ve sonuç -32π olarak hesaplanır.