Buradasın
Sayısal Yöntemler Dersi: Hesaplama Hataları ve Kök Bulma Yöntemleri
youtube.com/watch?v=VYe3Jl-yZ9UYapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından geniş oda stüdyosunda sunulan sayısal yöntemler dersinin eğitim içeriğidir.
- Video, hesaplama hatalarını üç başlık altında incelemektedir: yuvarlama hatası, kesme hatası ve giriş verisindeki hata. Ardından basit iterasyon yöntemi detaylı olarak açıklanmakta ve iki örnek üzerinden uygulamalı olarak gösterilmektedir. İkinci bölümde ise denklemlerin köklerini bulmak için kullanılan formüller ve yöntemler anlatılmakta, x₁ ve x₂ değerlerinin hesaplanması ve doğruluğunun kontrolü gösterilmektedir.
- Videoda bilgisayar mühendisliği ikinci sınıf vize sorusundan alınan bir örnek ve klasik bir örnek üzerinden iterasyon yöntemi adım adım çözülmekte, farklı x değerlerinin seçildiğinde sonuçların nasıl değiştiği karşılaştırılmaktadır. Video, bir sonraki derste Newton-Raphson yönteminin anlatılacağı bilgisiyle sonlanmaktadır.
- 00:06Sayısal Yöntemler Dersinin Giriş Bilgileri
- Bu video, sayısal yöntemler dersinin giriş videosudur ve hesaplamalar ve hesaplama hataları konularını ele alacaktır.
- Hesaplamalar yuvarlama hatası, kesme hatası ve giriş verisindeki hata olmak üzere üç başlık altında incelenecektir.
- 00:59Hesaplama Hataları
- Yuvarlama hatası, makinalardaki hücrelerin sınırlı olması nedeniyle son rakamın bir üst sayıya veya bir sayıya yuvarlanması sonucu oluşan hatadır.
- Kesme hatası, Taylor ve MacLaurin serilerinde belirli bir türevden sonraki kısmın atılması nedeniyle oluşan hatadır.
- Giriş verisindeki hata, makinelerin kullanıcıları tarafından yapılan hataları ifade eder, örneğin tuşlara basarken yanlış rakam girmek.
- 01:47Basit İterasyon Yöntemi
- Basit iterasyon yöntemi, denklemleri uygun bir başlangıç koşulu altında iterasyon ile çözmeye yönelik bir yöntemdir.
- Yöntemde denklem x = g(x) şeklinde yazılır ve x_(n+1) = g(x_n) formülü kullanılarak iterasyon yapılır.
- Yöntemin doğruluğu, iterasyon sonucunda bulunan değerlerin sıfıra yaklaştığına göre değerlendirilir.
- 02:54Basit İterasyon Yöntemi Örneği
- Örnek olarak 3^x - x^2 - 1 = 0 denkleminin kökü basit iterasyon yöntemiyle bulunacaktır.
- Denklem 3^x = x^2 + 1 şeklinde yazılır ve logaritma alınarak x = log_3(x^2 + 1) formülü elde edilir.
- Başlangıç değeri x_0 = 0.20 verilerek iterasyon yapılır ve sonuçların sıfıra yaklaştığı kontrol edilir.
- 14:20İkinci Örnek
- İkinci örnek olarak e^x + x^2 - 3 = 0 denkleminin kökü basit iterasyon yöntemiyle bulunacaktır.
- Denklem e^x = 3 - x^2 şeklinde yazılır ve logaritma alınarak x = ln(3 - x^2) formülü elde edilir.
- Başlangıç değeri x_0 = 0.10 verilerek iterasyon yapılır ve ilk adımın sonucu hesaplanır.
- 17:51Matematiksel Formül Uygulaması
- Formülde x yerine 1 verildiğinde sonuç 1,95273 olarak bulundu.
- Formül tekrar uygulandığında x yerine 2 konuldu ve sonuç 0,587996 olarak hesaplandı.
- Doğruluğun sağlanması için |x₂ - x₁| formülü kullanıldı ve sonuç 0,995273 olarak bulundu.
- 21:29Farklı Değer İçin Hesaplama
- Eğer x yerine 2 seçilseydi, formülde kök içine alınarak işlem yapılacaktı.
- x₁ = √(3 - e⁻¹) hesaplanarak 1,3756527 sonucu elde edildi.
- x₂ hesaplanırken kök içinde negatif değer oluştu, bu durumda çözüm olmaz ve bu değer seçilmez.
- 25:09Sonuç ve Sonraki Video
- Kök içinde negatif değer oluşursa, yanlış değer seçilmiş demektir.
- Bir sonraki video Newton-Rodson yöntemi konusunu ele alacak.
- İzleyicilerden abone olmaları isteniyor.