Buradasın

Sayısal Analiz Vize ve Final Soruları: Taylor Polinomu ile Yaklaşık Değer Hesaplama

Yapay zekadan makale özeti

Bu video, sayısal analiz dersinden vize ve final sınavlarında çıkabilecek bir soruyu çözen bir eğitim içeriğidir.
Videoda, f(x) = x^5 fonksiyonunun x = 32 noktasındaki 2. derece Taylor polinomu kullanılarak f(30) = 30^5'in yaklaşık değerinin hesaplanması, mutlak hata ve bağıl hata hesaplanması adım adım gösterilmektedir. Önce Taylor polinomunun genel formülü anlatılarak, ardından f(32), f'(32) ve f''(32) değerleri hesaplanarak polinom elde edilir. Son olarak, Taylor polinomunda x = 30 konularak yaklaşık değer hesaplanır ve gerçek değer ile karşılaştırılarak hatalar bulunur.

00:01Sayısal Analiz Sorusu Tanıtımı: Video, sayısal analiz dersinden vize ve final sınavlarında çıkabilecek bir soruyu inceleyecek.
Soruda f(x) = x^(1/5) fonksiyonunun x=32 noktasındaki 2. derece Taylor polinomu yardımıyla 31^(1/5) değerinin yaklaşık hesaplanması isteniyor.
Soruda ayrıca mutlak hata ve bağıl hata da hesaplanması gerekiyor.
01:51Taylor Polinomu Hesaplama: f(x) fonksiyonunun 32 noktasındaki 2. derece Taylor polinomu P(x) = f(32) + f'(32)(x-32) + f''(32)(x-32)^2/2 hesaplanacak.
f(x) = x^(1/5) fonksiyonunun türevleri f'(x) = (1/5)x^(-4/5) ve f''(x) = (-4/25)x^(-9/5) olarak bulunuyor.
f(32), f'(32) ve f''(32) değerleri hesaplanarak Taylor polinomu elde ediliyor.
09:23Yaklaşık Değer Hesaplama: 31^(1/5) değerinin yaklaşık hesaplanması için Taylor polinomunda x=31 değeri yerine konuluyor.
Hesaplamalar sonucunda 31^(1/5) yaklaşık değeri 1.9430035 bulunuyor.
Gerçek değer 1.94300354846 olarak verilmiş.
13:24Hata Hesaplamaları: Mutlak hata, gerçek değer ile yaklaşık değer arasındaki farkın mutlak değeri olarak hesaplanıyor.
Bağıl hata, mutlak hata değerinin gerçek değerine bölünmesiyle bulunuyor.
Hesaplamalar sonucunda çok düşük bir hata değeri elde ediliyor, bu da hesaplamaların doğruluğunu gösteriyor.