Buradasın
Rastgele Değişkenler ve İstatistiksel Özellikler Eğitim Dersi
youtube.com/watch?v=4md-SFdgGxcYapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan istatistik ve olasılık dersi formatındadır.
- Video, rastgele değişkenlerin istatistiksel özellikleri ve ilişkileri üzerine odaklanmaktadır. İçerik üç ana bölümden oluşmaktadır: ilk bölümde rastgele değişkenlerin diklik, ilintisizlik ve bağımsızlık kavramları ele alınırken, ikinci bölümde iki değişkenli Gauss rastgele değişkenlerin özellikleri incelenmekte ve son bölümde çok değişkenli olasılık modelleri anlatılmaktadır.
- Ders boyunca kovaryans, varyans, korelasyon katsayısı gibi istatistiksel ölçüler, olasılık yoğunluk fonksiyonları, marjinal dağılımlar ve multinomial dağılım gibi konular formüller ve görselleştirmelerle açıklanmaktadır. Ayrıca, rastgele değişkenlerin beklenen değerleri, varyansları ve kovaryanslarının hesaplanmasının pratik uygulamaları olan quiz soruları da sunulmaktadır.
- 00:01Rastgele Değişkenlerin İlişkileri
- İki rastgele değişkenin dik olması, çarpımlarının beklenen değerinin sıfır olması anlamına gelir.
- İki rastgele değişkenin ilintisiz olması, kovaryansının sıfır olması veya çarpımlarının beklenen değerinin beklenen değerlerinin çarpımına eşit olması demektir.
- Dik ve ortalamalı olan iki rastgele değişken aynı zamanda ilintisizdir.
- 02:11Bağımsız Rastgele Değişkenler
- Bağımsız rastgele değişkenlerin fonksiyonlarının çarpımının beklenen değeri, fonksiyonların beklenen değerlerinin çarpımına eşittir.
- Bağımsız rastgele değişkenler aynı zamanda ilintisizdir.
- Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamlarının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir.
- 05:49Sinyal ve Gürültü Örneği
- Gauss dağılıma sahip sinyal (X) ve gürültü (Z) bağımsız iken, X ve Z'nin kovaryansı sıfırdır.
- X ve Y'nin kovaryansı X'in varyansına eşittir.
- X ve Y'nin ilinti katsayısı, sinyal ile alıcıda yapılan gözlemin ne kadar ilintili olduğunun ölçütüdür ve yüksek olması istenir.
- 12:05Sinyal-Gürültü Oranı
- Sinyal-gürültü oranı, sinyalin gücü (σx²) ile gürültünün gücü (σz²) oranıdır.
- Sinyal-gürültü oranı ne kadar yüksek olursa, haberleşme ve algılama performansı o kadar iyidir.
- 12:35Örnek Problemler
- İki rastgele değişken L ve T için beklenen değer, varyans ve kovaryans hesaplanmıştır.
- L ve T'nin kovaryansı sıfır olduğu için ilintisizdir, ancak bağımsız olup olmadığı belirsizdir.
- Diğer bir örnekte, X ve Y rastgele değişkenleri için marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları, beklenen değerler, varyanslar ve kovaryans hesaplanmıştır.
- 20:16İki Değişkenli Gauss Rastgele Değişkenler
- İki değişkenli Gauss rastgele değişkenlerde x ve y değişkenleri ortalamaları ve standart sapmaları olan Gauss dağılımlı olup, korelasyon katsayısı ile ilintili olabilirler.
- İlişkisiz (korelasyon katsayısı sıfır) iken ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının çarpımıdır.
- İlişkili (korelasyon katsayısı sıfırdan farklı) iken ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu daha karmaşık bir formülle ifade edilir.
- 24:11Korelasyon ve Görselleştirme
- Korelasyon katsayısı negatif olduğunda (roxy küçüktür 0), x arttıkça y azalma eğiliminde olur.
- Korelasyon katsayısı pozitif olduğunda (roxy büyüktür 0), x arttıkça y artma eğiliminde olur.
- Korelasyon katsayısı sıfır olduğunda (roxy eşittir 0), x ve y arasında ilinti yoktur.
- 25:50Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları
- İki değişkenli Gauss rastgele değişkenlerin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun integrali alınarak bulunabilir.
- Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, tildalı parametreler kullanılarak iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılabilir.
- Tildalı parametreler (müye tilda ve sigma tilda) x'in fonksiyonu olarak tanımlanır ve korelasyon katsayısına bağlıdır.
- 30:42Gauss Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı ve İlişkisi
- İki değişkenli Gauss rastgele değişkenlerinde bağımsızlık ve ilişkisizlik birbirini gerektirir.
- Normalde bağımsız iki rastgele değişken ilişkisizdir, ancak ilişkisiz olup bağımsız olmayan rastgele değişkenler de vardır.
- Gauss rastgele değişkenlerinde ilişkisizlik bağımsızlığı gerektirir ve tersi de geçerlidir.
- 33:09Gauss Rastgele Değişkenlerin Ağırlıklı Toplamları
- Gauss rastgele değişkenlerin ağırlıklı toplamı yine Gauss rastgele değişkenidir.
- X ve Z bağımsız Gauss rastgele değişkenlerse, X+Z de Gauss dağılımlı olur.
- X+Z'nin standart sapması, X ve Z'nin standart sapmalarının karelerinin toplamının kareköküdür.
- 42:56Çok Değişkenli Olasılık Modelleri
- Çok değişkenli olasılık modelleri, iki değişkenli modellerin genişletilmiş halleridir.
- Kümülatif dağılım fonksiyonu, değişkenlerin belli sayılardan küçük olma olasılıklarını ifade eder.
- Olasılık ağırlık fonksiyonu, ayrık rastgele değişkenler için her birinin belli bir sayıya eşit olma olasılığını gösterir.
- 43:25Olasılık Fonksiyonları Arasındaki İlişkiler
- CDF'den PDF elde etmek için türev alınır, PDF'den CDF elde etmek için integral alınır.
- Herhangi bir olasılık negatif olamaz ve bütün olasılıkların toplamı bir eder.
- Olasılık yoğunluğu fonksiyonu hiçbir yerde negatif olamaz ve bütün olasılık yoğunluklarının integrali bir eder.
- 44:27Çok Değişkenli Rastgele Değişkenler
- Herhangi bir olasılığı bulmak için ayrık rastgele değişkenlerde katlı toplam, sürekli rastgele değişkenlerde katlı integral alınır.
- Multinomial dağılım, binom dağılımının çok değişkenli hali olup, n tane bağımsız deneme ve r tane olası outcome içerir.
- Multinomial dağılımın olasılık ağırlık fonksiyonu (PMF) multinom katsayı ile p1^n1, p2^n2, ..., pr^nr çarpımını verir.
- 46:40Marjinal Olasılık Fonksiyonları
- Dört rastgele değişkenin ortaklaşa olasılık ağırlık fonksiyonundan marjinal fonksiyonlar elde edilir.
- Marjinal fonksiyonlar bulmak için ilgili değişkenlere göre toplam alınır (ayrık durum) veya integral alınır (sürekli durum).
- n tane rastgele değişkenin bağımsız olması, ortaklaşa olasılık ağırlık fonksiyonunun marjinallerin çarpımı şeklinde ifade edilmesi anlamına gelir.