Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik öğretmeni tarafından sunulan modüler aritmetik ve üslü ifadeler konusunda soru çözümlerini içeren bir eğitim içeriğidir.
- Videoda öğretmen, modüler aritmetik konusundaki çeşitli problemleri adım adım çözmektedir. İlk bölümde mod 7, mod 3, mod 6 gibi farklı modlarda denklikler ve kuvvetlerin mod değerleri hesaplanırken, ikinci bölümde 37 üzeri 122 sayısının birler basamağı, Ronaldo ve Messi'nin gol atma düzeni ile ilgili problemler ele alınmaktadır. Son bölümde ise nöbet tutma düzeni ve en küçük iki basamaklı değer bulma gibi uygulamalı problemler çözülmektedir.
- Her problem için detaylı çözüm adımları gösterilmekte, mod hesaplamaları ve kuvvetlerin özellikleri açıklanmaktadır. Video, öğrencilerin bu tür matematik problemlerini nasıl çözebileceklerini göstermek amacıyla hazırlanmıştır.
- 00:02Modüler Aritmetik Soru Çözümü
- Modüler aritmetik soru çözümüne başlanıyor.
- İlk soruda 3x+4≡5 (mod 7) denkliğinde en küçük x doğal sayısı bulunuyor.
- Denklikte 5 karşıya atılarak 3x-1≡0 (mod 7) elde ediliyor ve x=5 olarak bulunuyor.
- 01:29İkinci Soru
- İkinci soruda 15≡3 (mod m) denkliğini sağlayan kaç farklı tam sayı m değeri var soruluyor.
- Denklikte 3 karşıya atılarak 12≡0 (mod m) elde ediliyor ve m, 12'yi tam bölen sayılar oluyor.
- m'nin 1'den büyük 5 farklı değeri (2, 3, 4, 6, 12) bulunuyor.
- 02:35Üçüncü Soru
- Üçüncü soruda 5^2001≡x (mod 6) olduğuna göre x'in değeri bulunuyor.
- 5'in kuvvetleri mod 6'da 5, 1, 5, 1 şeklinde tekrarlanıyor.
- 2001'i 2'ye bölünce tam 1000 blok ve kalan 1 bulunuyor, bu nedenle 5^2001'in mod 6'daki değeri 1 olarak bulunuyor.
- 04:46Dördüncü Soru
- Dördüncü soruda 2×6^4+3×6^3+5×6^2+1 ifadesinin 7 ile bölümünden kalan bulunuyor.
- 6'nın kuvvetleri mod 7'de 6, 1, 6, 1 şeklinde tekrarlanıyor.
- İfadelerin kalanları toplanıp 7'ye bölündüğünde kalan 5 olarak bulunuyor.
- 06:49Mod İşlemi ve Kuvvetler
- 37 üzeri 122 sayısının birler basamağındaki rakam sorulduğunda, aslında 37 üzeri 122 mod 10 değeri bulunması gerekiyor.
- Mod işlemi, sayının en sonundaki rakamı (birler basamağı) bulmak için kullanılır.
- Büyük kuvvetlerin mod değerini bulmak için, kuvvetlerin kalanlarını çarpma yöntemi kullanılır.
- 07:24Kuvvetlerin Mod İşlemi Örneği
- 37'nin kuvvetlerinin mod 10 değerleri hesaplanırken, önceki kuvvetin kalanı ile çarpma işlemi yapılır.
- 37'nin kuvvetlerinin mod 10 değerleri 4'er 4'er blok halinde tekrar eder: 7, 9, 3, 1.
- 122 kuvveti için, 122'yi 4'e bölerek kalanı bulup, blok içindeki karşılıkta değer bulunur.
- 10:03Ronaldo ve Messi Gol Sorunu
- Ronaldo 3 günde bir, Messi 4 günde bir gol atarken, ilk kez cumartesi günü gol attıklarına göre beş golü birlikte hangi gün atarlar soruluyor.
- Ronaldo ve Messi'nin gol atma süreleri 3 ve 4 gün olduğundan, ortak katları olan 12 gün sonra birlikte gol atarlar.
- Beş gol için 4 kere 12 gün geçer, yani 48 gün sonra cuma günü beş golü birlikte atarlar.
- 12:18Mod İşlemi Örneği 2
- 3 üzeri 190 eksi 1097 artı 9 üzeri 1097 toplamının 5 ile bölümünden kalan bulunuyor.
- 3'ün kuvvetlerinin mod 5 değerleri 4'er 4'er blok halinde tekrar eder: 3, 4, 2, 1.
- 1097, 4'e bölündüğünde 1 kalan verdiğinden, 3 üzeri 1097 mod 5 değeri 3'tür.
- 13:22Modüler Aritmetik Hesaplamalar
- 9'un bir kuvveti mod 5'te 4'tür, 9'un karesi mod 5'te 1'dir.
- 1997'yi 2'ye bölünmez çünkü tek sayıdır, 1996'ya bölünür ve kalan 1'dir.
- Mod 5'te kalanlar toplandığında 7 elde edilir, ancak 7 mod 5'te 2 kalır.
- 14:20Modüler Aritmetik Kuralları
- Bir sayının kuvvetlerinin modüler kalanları, önceki kuvvetlerin kalanlarının çarpımlarıyla bulunur.
- Örneğin, 3'ün bir kuvvetinden kalan 3, karesinden kalan 4, küpünden kalan 12 mod 5'te 2'dir.
- 14:46Nöbet Sorunu
- Bir doktor 9 günde bir acil servise nöbet tutmaktadır ve 16. nöbetini Perşembe günü tutmuştur.
- 2. nöbet ile 16. nöbet arasında 14 boşluk vardır ve her boşluk 9 gündür.
- 16. nöbetin 126 gün önce olduğu hesaplanır ve 126 mod 7'de kalan 0 olduğundan, 2. nöbet de Perşembe günü tutulmuştur.
- 17:33Mod 5'te Kuvvet Hesaplamaları
- 2007 mod 5'te 2'dir, 2007² mod 5'te 4'tür, 2007³ mod 5'te 3'tür.
- Kuvvetler 4'er 4'er hareket ederek 1, 2, 3, 4 döngüsünü takip eder.
- 2007ⁿ mod 5'te 3'e denk gelen en küçük iki basamaklı n değeri 11'dir.