Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, Ali Hoca tarafından sunulan bir matematik eğitim içeriğidir. Öğretmen, öğrencilere hitap ederek modüler aritmetik konusunu adım adım anlatmaktadır.
- Videoda modüler aritmetik konusu detaylı olarak ele alınmaktadır. İlk olarak kalanlı bölme kavramı ve modüler aritmetik tanımı verilmekte, ardından "a ≡ b (mod m)" şeklindeki denklemlerin çözüm yöntemleri örneklerle gösterilmektedir. Ders boyunca mod kavramı, denklik sınıfları ve modüler denklemlerin özellikleri açıklanmakta, ayrıca 2005-2013 yılları arasında çıkan üniversite sınav soruları çözülmektedir.
- Video, modüler aritmetik konusunu öğrenmek veya pekiştirmek isteyen öğrenciler için faydalı olabilir. Öğretmen, denklem sistemlerini sağlayan en küçük pozitif tam sayıların toplamı, mod 4 ve mod 6'ya göre sayılar gibi çeşitli örnekler üzerinden konuyu uygulamalı olarak açıklamaktadır.
- 00:56Modüler Aritmetik Giriş
- Modüler aritmetik, kalanlı bir bölmedir ve bölen ile kalan çok önemlidir.
- Bir sayı, başka bir sayıya bölündüğünde kalan aynı ise, bu sayılar modüler aritmetikte birbirine denktir.
- Modüler aritmetikte, aynı kalanlı sayıların farkları veya çarpımları da aynı kalanlıdır.
- 03:59Modüler Aritmetik Tanımı
- Modüler aritmetikte, x ve y tam sayılar olmak üzere, x-y farkı m'nin tam katı oluyorsa, x ile y sayıları m modülüne göre birbirine denktir denir.
- x ≡ y (mod m) denkliği, x'in m'nin bir katı artı y olduğunu gösterir.
- x ≡ y (mod m) denkliği, x'in m ile tam bölündüğünü ve y'nin m'nin katı olduğunu ifade eder.
- 05:32Modüler Aritmetik Örnekleri
- 127 ≡ 2 (mod 5) denkliğini sağlayan x değerleri kümesi, 5'in katı artı 2 olan tüm tam sayılardır.
- -39 ≡ -4 (mod 7) denkliğini sağlayan x tam sayıların alabileceği değerler kümesi, 7'nin katı eksi 4 olan tüm tam sayılardır.
- Modüler aritmetik, kalanlı bölmedeki kuralları içerir ve bu kurallar modüler aritmetikte de geçerlidir.
- 08:50Modüler Aritmetik Problemleri
- 147 ≡ 3 (mod 3) denkliğini sağlayan m pozitif tam sayı değerleri, 144'ün pozitif bölenleri olarak bulunur ve toplam 15 farklı değer vardır.
- 48 ≡ 3 (mod x) denkliğini sağlayan x tam sayıları, 45'in pozitif bölenleri olarak bulunur ve toplam 5 farklı değer vardır.
- 63 ≡ 9 (mod x) denkliğinde x'in 8 farklı değeri vardır.
- 12:00Faktöriyel ve Modüler Aritmetik
- 40! ≡ 0, (mod 3) denkliğinde, 40! içinde en fazla 18 tane 3 bulunur.
- 47 ≡ 2 (mod x) denkliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı 77'dir.
- 111 ≡ 3 (mod x) denkliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı 280'dir.
- 17:43Modüler Aritmetik Özellikleri
- Aynı modüldeki iki denklik taraf tarafa toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir, ancak bölünemez.
- Bir denkliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir, çıkarılabilir, çarpılabilir veya her iki tarafın aynı kuvveti alınabilir.
- Kalanlı bölmede (modüler aritmetikte) bölme kuralları aynen kullanılabilir.
- 19:40Modüler Aritmetik Soruları
- Beş eksi x denktir dört mod yedi'ye göre denklemi çözülerek x'in alabileceği en küçük iki değerlerin toplamı bulunuyor.
- Denklemde dört bir tarafa atılarak beş eksi x denktir bir mod yedi'ye göre şeklinde yazılabilir ve x'in en küçük değeri yedi k artı bir şeklinde ifade edilir.
- x'in en küçük iki değeri 8 ve 9 olup, bunların toplamı 17'dir.
- 20:51İkinci Modüler Aritmetik Sorusu
- Dört x artı üç altı mod yedi denkliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı bulunuyor.
- Denklemde üç bir tarafa atılarak dört x denktir üç mod yedi'ye göre şeklinde yazılabilir ve her iki taraf iki ile çarpılarak sekiz x denktir bir mod yedi'ye göre şeklinde ifade edilir.
- x'in en küçük değeri altı olup, bu sonuç farklı yollarla da bulunabilir.
- 23:56Modüler Aritmetik Soruları
- 2012 yılında çıkan bir soruda, 1 ile 10 arasında olan ve 12-a denkliğini sağlayan a tam sayılarının sayısı 4'tür.
- 2013 DS'de çıkan bir soruda, 73 mod 3 ve 107 mod 2 denklemlerini sağlayan n'nin değerleri 5, 7 ve 35 olup, toplamları 47'dir.
- x mod 5'e göre 3 ve x mod 4'e göre 3 olduğuna göre, x'in alabileceği en büyük iki basamaklı sayı 83'tür.
- 29:09Modüler Aritmetik Uygulamaları
- 2001 yılına çıkan bir soruda, iki basamaklı x doğal sayısı için x mod 3'e göre 2 ve x mod 5'e göre 2 olduğuna göre, en küçük iki basamaklı sayı 17, en büyük iki basamaklı sayı 92 olup, toplamları 909'dur.
- 5x-4 mod 7 denkliğini sağlayan iki basamaklı x doğal sayılarının sayısı 13'tür.
- 5x-6 denktir 4 mod 13 denkliğini sağlayan en küçük x doğal sayısı 15'tir.
- 34:59Modüler Denklemler Problemleri
- Denklem sistemini sağlayan en küçük dört pozitif tam sayıların toplamı soruluyor.
- x ≡ 2 (mod 3) ve x ≡ 3 (mod 5) denklemleri çözülerek x + 7'nin 3 ve 5'in OKEK'i olan 15'in katı olduğu bulunuyor.
- x değerleri 8, 23, 38 ve 53 olarak hesaplanıp toplamları 120 olarak bulunuyor.
- 37:43Modüler Denklemler Problemi
- a ≡ 3 (mod 4) ve a ≡ 5 (mod 6) denklemleri çözülerek a + 1'in 4 ve 6'nın OKEK'i olan 12'nin katı olduğu bulunuyor.
- a + 1 = 12n şeklinde yazıldığında, en büyük iki basamaklı tam sayı değeri için n = 8 alınarak a = 95 bulunuyor.
- 39:27Modüler Denklemler Problemi
- 7k + 4 ≡ 0, (mod 3) denklemi çözülerek k ≡ 2 (mod 3) bulunuyor.
- k = 3t + 2 şeklinde yazıldığında, k'nın 21'den küçük pozitif tam sayı değerleri 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 olarak hesaplanıyor.
- Toplam 7 farklı k değeri olduğu bulunuyor.
- 41:22Modüler Denklemler Problemi
- 2a × 3b ≡ 0, (mod 12) ve 2a × 3b ≡ 0, (mod 27) denklemleri çözülüyor.
- a = 3 ve b = 1 değerleri bulunarak a + b toplamı 4 olarak hesaplanıyor.
- 42:45Dersin Kapanışı
- Modüler aritmetik dersi tamamlanıyor.
- Hedefini yüksek tutmak ve puanını artırmak isteyenler için tekrar derslerde buluşulacağı belirtiliyor.
- Hayalindeki üniversiteyi kazanma dileğiyle sağlıklı, mutlu ve şık günler dileniyor.