Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik eğitimi formatında bir ders anlatımıdır.
- Videoda matris sistemlerinin çözümünde karşılaşılabilecek üç farklı durum ele alınmaktadır: üçgensel form, bağımlı değişken durumu ve tutarsız sistem. Eğitmen, genişletilmiş matrisin indirgenmiş satır basamak formuna dönüştürülmesi sürecini adım adım göstermekte ve Gauss eliminasyon yöntemi kullanarak çözüm kümesini bulmaktadır.
- Video, önceki derste lineer denklem sistemlerinin matris çarpım sistemine dönüştürülmesi ve genişletilmiş matrisin sadeleştirilmesi konularını hatırlatarak başlamakta, ardından satır basamak formunun ilk üç şartını sağlayarak matrisi dönüştürme sürecini detaylı olarak anlatmaktadır. Sistem, bir bağımlı değişken içermekte, tutarlı olup sonsuz çözüme sahiptir.
- Matris Sistemleri Çözümünde Karşılaşılacak Üç Durum
- Bu videoda matris sistemleri çözümünde karşılaşabileceğimiz üç durum incelenecektir.
- Önceki videoda lineer denklem sistemini matris çarpım sistemine çevirme, genişletilmiş matris üretme ve Gauss eliminasyon/Gauss-Jordan yöntemleriyle sadeleştirme gösterilmiştir.
- Genişletilmiş matrisin en sade haline ulaşıp çözüm kümesini elde etmek için denkleme çevireceğimiz aşamada karşılaşabileceğimiz üç farklı durum vardır.
- 00:58Birinci Durum - Üçgensel Form
- Birinci durumda sadeleştirdiğimiz sistem üçgensel form şeklindedir.
- İki bilinmeyene karşılık iki denklemin olduğu bu sistem tutarlı, değişkenler bağımsızdır ve tek çözüm vardır.
- Sadeleştirme işlemi sonucu daha fazla sadeleştirilmiş matrislerde bilinmeyenler daha kolay elde edilir.
- 02:11İkinci Durum - Bağımlı Değişken
- İkinci durum, sadeleştirme işlemlerinde satırlardan bir tanesinin tüm elemanlarının sıfıra dönüşmesi ile karşımıza çıkar.
- Bu durumda bilinmeyen sayısına karşılık denklem sayısı azalmış olur ve bir bağımlı değişken vardır.
- Bu sistemde tutarlı olup bağımlı değişken durumu vardır ve çözüm kümesi olarak sonsuz çözüme sahiptir.
- 03:32Üçüncü Durum - Tutarsız Sistem
- Üçüncü durumda, sadeleştirme işlemi tamamlandığında satırlardan bir tanesinde bilinmeyenlerin katsayılarının olduğu taraftaki tüm elemanlar ancak sabitin olduğu elemanın bir sayı değeri aldığı durumdur.
- Bu satırdan elde edilecek denklem anlamsızdır ve bu sistemlere tutarsız sistemler denilir.
- Tutarsız sistemlerde çözüm yoktur.
- 04:12Örnek 1 - Üç Bilinmeyenli Sistem
- Üç bilinmeyenden oluşan denklem sistemi genişletilmiş matrise çevrilerek Gauss eliminasyon yöntemi uygulanır.
- Sadeleştirme işlemleri sonucunda elde edilen denklemlerde x₃=1, x₂=-11/3 ve x₁=-2 değerleri bulunur.
- Bu sistem tek çözüme sahip olup çözüm kümesi {-2, 3, 1}'den oluşmaktadır.
- 09:44Örnek 2 - İki Bilinmeyenli Sistem
- İki bilinmeyenli denklem sistemi genişletilmiş matris şeklinde yazılır ve sadeleştirme işlemleri uygulanır.
- Sadeleştirme sonucunda elde edilen denklem x+y-13=0 olup, bu denklem anlamsız olduğu için sistem tutarsızdır.
- Tutarsız sistemlerde çözüm yoktur.
- 11:42Örnek 3 - Gauss-Jordan Yöntemi
- Dört bilinmeyenli üç denklemli homojen bir sistem için Gauss-Jordan yöntemi kullanılarak çözüm kümesi bulunacaktır.
- Genişletilmiş matris oluşturulup, Gauss-Jordan yöntemiyle sadeleştirme işlemleri uygulanır.
- İkinci satırın ilk elemanı olan 3'ü elimine etmek için satır 1 ile satır 2 toplanır.
- 14:02Matris İşlemleri ve Satır Basamak Formu
- Birinci satırın ilk elemanı olan eksi bir'i bir'e çevirmek için tüm satır bir elemanlarını eksi bir ile çarpma işlemi yapılır.
- İkinci satırdaki ilk elemanı bir yapmak için satır iki ile satır üç'ün yerini değiştirme işlemi gerçekleştirilir.
- Üçüncü satırın ikinci elemanı olan dört'ü yapmak için satır iki'yi eksi dört ile çarpıp satır üç ile toplama işlemi yapılır.
- 16:20İndirgenmiş Satır Basamak Formuna Getirme
- Satır basamak formuna getirilmiş genişletilmiş matrisi indirgenmiş satır basamak formuna getirmek için pivot elemanların bulunduğu sütunlarda pivot eleman dışındaki elemanları sıfır yapma işlemleri yapılır.
- İkinci satırın pivot elemanı olan bir'in sütunda birinci satır elemanının eksi bir olduğunu yapmak için satır bir ile satır iki'yi toplama işlemi yapılır.
- Üçüncü satırdaki pivot eleman olan bir'in bulunduğu sütunda sıfırdan farklı olan elemanları sıfır yapmak için satır üç'ü üç ile çarpıp satır bir ile toplama işlemi yapılır.
- 19:18Sistem Analizi
- Matristeki üç satırdan elde edilen denklemler: x₁ + x₄ = 0, x₂ + x₄ = 0, x₃ - x₄ = 0'dır.
- Bilinmeyen sayısı dört ancak denklem sayısı üç olduğundan sistem bir bağımlı değişken içermektedir.
- Çözüm kümesi (alfa, -alfa, alfa, alfa) olarak tanımlanır ve sistem tutarlı olup sonsuz çözüme sahiptir.