Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik öğretmeninin modüler aritmetik konusunu anlattığı kapsamlı bir eğitim içeriğidir. Öğretmen, öğrencilere hitap ederek konuyu adım adım açıklamaktadır.
- Video, modüler aritmetik tanımı ve temel prensiplerinden başlayarak, mod işlemi, mod denklemleri ve bunların çözümleri üzerine odaklanmaktadır. İçerikte bölme ve kalan problemleri, üslü sayılarla ilgili modüler hesaplamalar, tekrar eden diziler ve günlük hayattan örnekler (hafta günleri, nöbet tutma gibi) detaylı şekilde ele alınmaktadır.
- Videoda özellikle DGS, KPSS ve ALES gibi sınavlarda çıkabilecek modüler aritmetik soruları üzerinde durulmakta ve çözüm teknikleri gösterilmektedir. Öğretmen, sonraki videoda tamamen sınav tarzı soruları çözeceğini belirterek, bu konunun sınavlarda önemli olduğunu vurgulamaktadır.
- 00:15Matematik Konu Anlatımının Sonu ve Gelecek Planlar
- Matematik konu anlatımının son konusu modüler aritmetik olup, bu konuyla matematik konu anlatımı tamamlanacak.
- Konu anlatımlarının ardından öğrencilerin konularını bitirmesini bekleyecek ve ardından kamplar, motivasyon videoları ve ders çalışma videoları paylaşılacak.
- Kamplar arasında konu tekrar kampları ve soru çözüm teknikleri gibi sürpriz kamplar da olacak.
- 01:05Modüler Aritmetik Hakkında Genel Bilgi
- Modüler aritmetik YKS müfredatından kaldırılmış olsa da, YKS'de problemsel sorular gelebilirken, DGS, KPSS ve ALES'de modüler aritmetik ile ilgili soru gelme ihtimali yüksektir.
- Modüler aritmetiğin cebirsel kısmı yerine problemler kısmı ile ilgili soru gelme ihtimali daha yüksektir.
- Modüler aritmetiği detaylı öğrenmek, işi şansa bırakmamak için önemlidir.
- 01:40Modüler Aritmetik Tanımı
- Modüler aritmetik, "tekrarlamak" anlamına gelir ve cebirsel olarak a ≡ b (mod m) ifadesi, a'nın m ile bölündüğünde elde edilen kalan ile b'nin m ile bölündüğünde elde edilen kalanların eşitliğini ifade eder.
- Gerçek tanım, a ve b sayılarının m ile bölündüğünde elde edilen kalanların eşit olması durumunda a ve b sayılarının birbirine denk olduğunu belirtir.
- Bir yanlış tanımda, a'nın m ile bölündüğünde kalan b olsun diye ifade edilse de, bu tanımla soruların yaklaşık %95'i çözülebilir.
- 02:53Modüler Aritmetik Örnekleri
- 62 ≡ 57 (mod 5) örneğinde, 62 ve 57 sayıları 5'e bölündüğünde kalanları 2 olduğundan birbirine denktir.
- 33 ≡ 28 (mod 6) örneğinde, 33 ve 28 sayıları 6'ya bölündüğünde kalanları farklı olduğundan birbirine denk değildir.
- 33 ve 28 sayıları 5'e bölündüğünde kalanları 3 olduğundan, mod 5'e göre birbirine denktir.
- 05:44Mod İşleminin Özellikleri
- Mod değeri her zaman 1'den büyük olmalıdır, 1 olamaz ve negatif olamaz.
- Mod işleminde a sayısının m ile bölündüğünde kalan b'dir şeklindeki tanım genellikle sorularda kullanılır.
- Mod işleminde a bölünen, m bölen, b ise kalan olarak adlandırılır.
- 06:54Mod İşleminin Uygulanması
- Mod işleminde x'in en küçük değeri sorulduğunda, a sayısını m'ye bölerek kalanı bulmak yeterlidir.
- Bir sayı, mod işlemi için belirli bir sayıya bölündüğünde, o sayıya eklenen mod değerinin katları da aynı kalanı verir.
- Bir sayının mod işlemi için sonsuz sayıda denk değeri olabilir.
- 08:40Mod İşleminin Örnekleri
- Mod işleminde x'in en küçük değeri sorulduğunda, a sayısını m'ye bölerek kalanı bulmak pratik bir yöntemdir.
- Bir sayının mod işlemi için birden fazla değeri olabilir, ancak en küçük değeri sorulduğunda kalan değer alınır.
- Mod işleminde a ≡ b (mod m) ifadesi, a ve b sayılarının m'ye bölündüğünde aynı kalanı vermesi anlamına gelir.
- 11:11Mod İşleminin Matematiksel Anlamı
- a ≡ b (mod m) ifadesi, a-b sayısının m'ye tam bölündüğünü gösterir.
- Mod işleminde a ve b sayıları, m modülünde birbirine denktir, yani m'ye bölündüklerinde aynı kalanı verirler.
- 11:56Mod İşlemi Örnekleri
- Mod işlemi ile ilgili her örnek bir soru olarak ele alınmaktadır.
- Mod işlemi, bir sayının başka bir sayıya bölündüğünde kalanı verir.
- Örneğin, 24'ü 5'e böldüğümüzde kalan 4'tür, 38'i 7'ye böldüğümüzde kalan 3'tür.
- 12:27Mod İşleminde Denklik Kavramı
- Mod işlemi denklik kavramı ile ifade edilir, örneğin 43 ≡ 2 (mod 7) ifadesi, 43 sayısının 7'ye bölündüğünde kalanın 2 olduğunu gösterir.
- Mod değerini istediğimiz yere ekleyip çıkarabiliriz, denklik değişmez.
- Mod değerinin sıfır olması, bir sayının diğer sayıya tam bölündüğünü gösterir.
- 14:11Mod İşleminde Denklik Özellikleri
- Mod işlemi ile ilgili denklemlerde, mod değerini istediğimiz kadar ekleyip çıkarabiliriz.
- Örneğin, 53 ≡ 3 (mod 5) ve 108 ≡ 3 (mod 5) denklemleri doğru bir denkliktir.
- Mod değerine eklenen sayı, denkliğin doğru kalmasını sağlar.
- 15:43Mod İşleminde Değer Bulma
- Mod işlemi ile ilgili denklemlerde, bilinmeyen değerleri bulmak için mod değerini kullanabiliriz.
- Örneğin, 263 ≡ x (mod 7) denklemi için, 263'ü 7'ye böldüğümüzde kalan 2 olduğundan x en az 2'dir.
- Pozitif tam sayılar için mod değerini ekleyerek negatif değerleri pozitife çevirebiliriz.
- 18:36Mod İşleminde Bölen Sayısı
- Mod işlemi sonucunda sıfır elde edildiğinde, bir sayının diğer sayıya tam bölündüğünü gösterir.
- Örneğin, 63 ≡ 0 (mod e) denklemi, 63 sayısının e'ye tam bölündüğünü gösterir.
- Bir sayının pozitif bölen sayısını bulmak için, sayının asal çarpanlarına ayırılması ve pozitif bölen sayısının bir çıkarılması gerekir.
- 19:49Modüler Aritmetik Problemi Çözümü
- Örnek problemde 4x-4x ve +4-4 ifadeleri bir tarafa gönderilerek denklik kurulmaktadır.
- İşlemler sonucunda 6x-6=0 denklemi elde edilir ve mod 18 olarak belirlenir.
- Denkliği sağlayan birbirinden farklı üç x pozitif tamsayısının toplamının en küçük değeri bulunması istenmektedir.
- 21:46Çözüm Yöntemi
- 6x mod 18 = 0 denklemi için x'in alabileceği değerler sıfır, 18 ve 36 olabilir çünkü bu sayılar 18'e tam bölünüyor.
- x=1 için 6x=6, x=4 için 6x=24, x=7 için 6x=42 değerleri bulunur ve her üç durumda mod 18=0 olur.
- x'in alabileceği en küçük üç değer toplamı 1+4+7=12 olarak hesaplanır.
- 23:12İki Basamaklı Sayı Problemi
- AB iki basamaklı sayısı 10'a bölündüğünde kalan 6, 9'a bölündüğünde kalan 5'tir.
- En küçük AB iki basamaklı sayısı 86'dır çünkü 86/10=8 kalan 6, 86/9=9 kalan 5'tir.
- AB sayısının rakamları toplamı 8+6=14'tür.
- 24:55Üslü Sayılarda Mod İşlemi
- Üslü sayılarda mod işlemi yaparken, üslü sayının mod değerini hesaplamak için önce ilk birkaç üs değerini hesaplayıp kalanları buluruz.
- Kalanlar belirli bir aralıkta tekrar eder, bu tekrar eden aralığı bulmak için üs değerini tekrar eden sayısına bölerek kalanı buluruz.
- Örneğin 3^102 mod 5 hesaplanırken, 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81 şeklinde hesaplanır ve kalanlar 3, 4, 2, 1 olur.
- 28:04Mod İşlemi Örnekleri
- 2^251 mod 5 hesaplanırken, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16 şeklinde hesaplanır ve kalanlar 2, 4, 3, 1 olur.
- 3^357 mod 10 hesaplanırken, 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81 şeklinde hesaplanır ve kalanlar 3, 9, 7, 1 olur.
- 14^50 mod 8 hesaplanırken, 14 mod 8=6 olarak yazılabilir ve 6^50 mod 8 hesaplanır.
- 31:39Modüler Aritmetik Hesaplamalar
- Modüler aritmetik hesaplamalarında, bir sayının üssünü başka bir sayıya bölerek kalanı bulmak için adım adım hesaplama yapılır.
- Hesaplama sırasında, bir sonraki adıma geçmeden önce önceki adımdaki ilk adımı çarpmak yeterlidir.
- Hesaplama, kalan sıfır olduğunda durur veya belirli bir tekrar döngüsü oluştuğunda son adıma bakılır.
- 33:24Birler Basamağı Hesaplama
- Bir sayının birler basamağını bulmak için mod 10 hesaplaması yapılır.
- Mod 10 hesaplamasında, sayının tabanı 10'a bölünerek kalan bulunur ve bu kalan kalana göre hesaplama yapılır.
- Üstteki sayı belirli bir döngüde tekrar ederse, üsten kalanı bulmak yeterlidir.
- 35:43Mod 5 Hesaplama Örneği
- Mod 5 hesaplamasında, sayının tabanı 5'e bölünerek kalan bulunur ve bu kalan kalana göre hesaplama yapılır.
- Hesaplama sırasında belirli bir döngü oluşabilir ve bu döngünün tekrar sayısı üsten bulunabilir.
- Üst tek sayıysa bir sonucu, çift sayıysa başka bir sonucu verebilir.
- 37:50Mod 10 Hesaplama Tekniği
- Mod 10 hesaplamasında, sayının üssü 10'a bölünerek kalan bulunur.
- Hesaplama sırasında belirli bir döngü oluşabilir ve bu döngünün tekrar sayısı üsten bulunabilir.
- Üsten kalan 1 ise birinci adıma, 2 ise ikinci adıma, 3 ise üçüncü adıma, 0 ise son adıma bakılır.
- 41:22Modüler Aritmetik Örnekleri
- 5'in herhangi bir kuvveti 10'a bölündüğünde kalan her zaman 5 olur.
- 6'nın herhangi bir kuvveti 10'a bölündüğünde kalan her zaman 6 olur.
- Modüler aritmetik problemleri DGS, KPSS, ALES gibi sınavlarda gelebilir ve oldukça basit bir konudur.
- 43:11Mod Kavramı
- Mod, tekrar eden sayısına bölme işlemidir.
- Tekrar eden dizilerde, istenen terim bulunmak için mod değerine bölme yapılır.
- Kalan 0 ise son harfe, kalan 1 ise ilk harfe, kalan 2 ise ikinci harfe bakılır.
- 45:24Devirli Ondalık Sayılar
- Devirli ondalık sayılarda virgülden sonraki tekrar eden kısımda mod işlemi yapılır.
- Virgülden sonraki belirli bir rakamı bulmak için, tekrar eden kısımdan önceki rakamlar çıkarılır.
- Kalan 1 ise ilk rakama, kalan 2 ise ikinci rakama bakılır.
- 47:59Hafta Sonu Günleri Problemi
- 365 günlük bir yılda hafta sonu günleri için mod 7 işlemi yapılır.
- 365'i 7'ye bölünce 52 hafta ve 1 gün kalan bulunur.
- En fazla 105 hafta sonu günü olabilir (52 cumartesi + 52 pazar + 1 ek gün).
- 50:38Ayda Hafta Sonu Günleri
- Bir ay en fazla 31 günden oluşur ve 31'i 7'ye bölünce 4 hafta ve 3 gün kalan bulunur.
- 4 haftada 4 cuma, 4 cumartesi ve 4 pazar günü vardır.
- Artan 3 gün içinde en fazla 1 cuma, 1 cumartesi ve 1 pazar günü olabilir.
- 51:36Ayın Günleri Hakkında Soru
- Dört hafta varsa bir ayda tam dört cuma, dört cumartesi ve dört pazar günü vardır.
- Soruda bahsedilen ayda beş cuma, beş cumartesi ve beş pazar günü olduğu belirtiliyor.
- Bu durum için ayın ilk üç gününün cuma, cumartesi ve pazar olması gerekiyor.
- 53:51Gün Hesaplama Soruları
- Bugün günlerden salı ise 143 gün sonra hangi gündür sorusunda, 143'ü 7'ye bölüp kalan 3 gün sonrası bakılır ve cevap cuma olur.
- Bugün günlerden salı ise 212 gün önce hangi gündür sorusunda, 212'yi 7'ye bölüp kalan 2 gün önce bakılır ve cevap pazar olur.
- İnci (inci) ünlü varsa (sonra veya önce belirtilmemişse), kalan değere göre o gün hesaplanır, örneğin 352 gün sonrası için ikinci gün (çarşamba) sorulduğunda cevap çarşamba olur.
- 56:33Modüler Aritmetik Soru Çözümü
- Modüler aritmetik konusu için kitapta çok soru olmasa da bol miktarda örnek bulunmaktadır.
- Bir doktor üç günde bir nöbet tutuyor ve ilk nöbetini Cuma gününe göre beşinci nöbetinin hangi günü olacağı sorulmaktadır.
- Her iki nöbet arasında tam üç gün olduğu için, beş nöbet arasında dört aralık bulunur ve toplam 12 gün geçer, bu 12'yi 7'ye bölerek kalan 5 gün sonrası Cuma'dan itibaren hesaplanır ve sonuç Çarşamba gününe denk gelir.
- 58:38Farklı Nöbet Soruları
- Bir asker altı günde bir nöbet tutuyor ve ilk nöbetini Salı gününe göre ondokuzuncu nöbetinin hangi günü olacağı sorulmaktadır.
- On dokuz nöbet arasında 18 aralık bulunur ve toplam 108 gün geçer, 108'yi 7'ye bölerek kalan 3 gün sonrası Salı'dan itibaren hesaplanır ve sonuç Cuma gününe denk gelir.
- Ali dört günde bir camiye gidiyor ve yirmi üçüncü kez Cuma gününe gitmişse, üçüncü kez hangi günü gitmiş olduğu sorulmaktadır.
- 1:01:03Geçmişe Dönüş Sorusu
- Yirmi üçüncü kez Cuma gününe gitmiş Ali'nin üçüncü kez hangi günü gitmiş olduğu, geçmişe dönerek hesaplanmaktadır.
- Yirmi üçüncü kez ile üçüncü kez arasında 20 aralık bulunur ve toplam 80 gün geçmiştir, 80'yi 7'ye bölerek kalan 3 gün önce Cuma'dan itibaren hesaplanır ve sonuç Salı gününe denk gelir.
- Modüler aritmetik ile ilgili soru gelme ihtimali düşük olsa da, özellikle son iki-üç dört sorunun sınav tarzı sorular olduğu belirtilmektedir.