Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, Youvision Erdem tarafından sunulan bir matematik dersidir. Erdem, L'Hospital kuralının nasıl uygulanacağını adım adım göstermektedir.
- Videoda, limit hesaplamaları için L'Hospital kuralının kullanımı detaylı olarak anlatılmaktadır. Öncelikle belirsizliklerin nasıl tespit edileceği gösterilmekte, ardından tanjant x üzeri x küp limitinin hesaplanması için L'Hospital kuralının iki kez uygulanması gerektiği adım adım açıklanmaktadır. Video, limit hesaplamalarında sadeleştirme yapmanın önemini vurgulayarak, sonucun e üzeri sıfır olarak 1'e eşit olduğunu göstererek sonlanmaktadır.
- L'Hospital Kuralının Uygulanması
- L'Hospital kuralı, sonsuz bölü sonsuz veya sıfır bölü sıfır belirsizliklerinde kullanılır.
- Verilen limit ifadesi limit x sıfıra sağdan giderken tanjant x üzeri x küp şeklinde verilmiştir.
- Tanjant x sıfıra yaklaşırken sıfır olur ve x küp de sıfır olur, bu da sıfır üzeri sıfır belirsizliğini oluşturur.
- 00:48Belirsizliğin Çözümü
- Sıfır üzeri sıfır belirsizliğini çözmek için e üzeri alınarak ifade e üzeri ln tanjant x üzeri x küp şeklinde yazılır.
- Logaritma özelliği kullanılarak e üzeri x küp çarpı ln tanjant x şeklinde ifade düzenlenir.
- Limit üste dağılır ve e üzeri limit x sıfıra sağdan giderken x küp çarpı ln tanjant x şeklinde yazılır.
- 03:05İkinci Belirsizlik
- x küp çarpı ln tanjant x ifadesinde sıfır çarpı sonsuz belirsizliği oluşur.
- Bu belirsizliği çözmek için x küpü paydaya atılarak limit x sıfıra sağdan giderken ln tanjant x bölü x üzeri eksi üç şeklinde yazılır.
- Bu durumda belirsizlik sonsuz bölü sonsuz olur ve L'Hospital kuralı uygulanabilir.
- 04:33L'Hospital Kuralının Uygulanması
- L'Hospital kuralına göre üst ve alt ifadelerin ayrı ayrı türevleri alınır ve limit ilk limite eşit olur.
- Tanjant x'in türevi 1 artı tanjant kare x bölü kendisi, x üzeri eksi üç'ün türevi ise eksi üç çarpı x üzeri eksi dört olarak hesaplanır.
- Limit ifadesi düzenlenerek tanjant x bölü (x küp çarpı tanjant x çarpı x üzeri eksi dört) şeklinde yazılır.
- 05:47Üçüncü Belirsizlik
- Bir artı tanjant kare x ifadesi sekant x olarak yazılır ve kosinüs kare x paydaya atılır.
- Tanjant x sinüs x bölü kosinüs x şeklinde yazılır ve kosinüs kare x paydaya düşer.
- Sinüs x kosinüs x ifadesi sinüs 2x olarak yazılır ve limit ifadesi düzenlenerek sinüs 2x eksi üç bölü iki şeklinde yazılır.
- 07:20Son L'Hospital Uygulaması
- Sinüs 2x bölü x küp eksi üç bölü iki ifadesinde belirsizlik oluşur ve L'Hospital kuralı uygulanır.
- Payın türevi 2x dört x x küp, paydanın türevi eksi üç, sinüs 2x'in türevi ise iki çarpı kosinüs 2x olarak hesaplanır.
- Limit ifadesi düzenlenerek x küp bölü kosinüs 2x eksi altı bölü eksi altı şeklinde yazılır ve sonuç sıfır olarak bulunur.
- 09:21Sonuç
- Limit x sıfıra giderken tanjant x'in x küpü sıfır olarak bulunmuştur.
- L'Hospital kuralı kullanılarak hesaplanan limitin değeri e üzeri sıfır yani bir'e eşittir.