Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik eğitimi formatında kısmi türevli denklemler konusunu anlatan bir ders anlatımıdır.
- Video, kısmi türevli denklemlerin tanımı ve sınıflandırılmasıyla başlayıp, bağımsız ve bağımlı değişkenlerin gösterimi, kısmi türevlerin hesaplanması ve denklemlerin mertebesi ve derecesi konularını açıklamaktadır. Daha sonra lineer ve yarı lineer kısmi türevli denklemlerin özellikleri, sabit ve değişken katsayılı denklemler ile homojen ve homojen olmayan denklemler detaylı olarak anlatılmaktadır.
- Videoda ikinci mertebeden lineer, değişken katsayılı ve homojen denklemlerin özellikleri örneklerle açıklanmakta, her örnek için denklemin türü ve mertebesi detaylı olarak incelenmektedir.
- 00:01Kısmi Türevli Denklemlerin Tanımı ve Sınıflandırması
- Kısmi türevli denklemlerde bağımsız değişkenler birden fazla sayıda olmalıdır (örneğin x ve y).
- Bağımlı değişken genellikle u ile gösterilir ve u(x,y) şeklinde yazılır, ancak farklı harfler de kullanılabilir.
- Kısmi türevli denklemler, içinde en az bir kısmi türev geçen eşitliklerdir ve KTD veya KDD kısaltmalarıyla ifade edilebilir.
- 01:13Kısmi Türevler
- Birinci mertebeden kısmi türevler u_x ve u_y şeklinde gösterilir, ikinci mertebeden türevler u_xx, u_xy, u_yy şeklinde yazılır.
- Kısmi türevler d/dx ve d/dy şeklinde de gösterilebilir.
- Daha yüksek mertebelerde kısmi türevler benzer şekilde yazılabilir.
- 04:29Kısmi Türevli Denklemlerin Mertebesi ve Derecesi
- Kısmi türevli denklemin mertebesi, denklemdeki en yüksek mertebeden kısmi türevin mertebesidir.
- Kısmi türevli denklemin derecesi, denklemdeki en yüksek mertebeden kısmi türevin kuvvetidir.
- Örnekler üzerinden mertebe ve derece gösterilmiştir: birinci mertebeden birinci dereceden, ikinci mertebeden birinci dereceden ve birinci mertebeden ikinci dereceden denklemler.
- 08:20Lineer Kısmi Türevli Denklemler
- Lineer kısmi türevli denklemler, kısmi türevlere ve bağımlı değişkene göre lineer olan denklemlerdir.
- Birinci mertebeden lineer denklemlerde u_x, u_y ve u terimleri bulunur, ikinci mertebeden lineer denklemlerde u_xx, u_xy, u_yy, u_x, u_y ve u terimleri bulunur.
- Lineer denklemler katsayılarının sabit olmasına veya değişkenli olmasına göre ikiye ayrılır ve sağ taraftaki ifadenin olup olmamasına göre homojen veya homojen olmayan olarak sınıflandırılır.
- 10:56Yarı Lineer Kısmi Türevli Denklemler
- Yarı lineer kısmi türevli denklemler, kısmi türevlere göre lineer olan denklemlerdir.
- Birinci mertebeden yarı lineer denklemlerde u_x ve u_y terimleri bulunur, ikinci mertebeden yarı lineer denklemlerde u_xx, u_xy, u_yy, u_x, u_y terimleri bulunur.
- Yarı lineer denklemlerde katsayılar ve sağ taraftaki fonksiyon hem bağımsız değişkenlere hem bağımlı değişkene göre değişebilir.
- 13:32Kısmi Türevli Denklemlerin Sınıflandırılması
- Kısmi türevli denklemler sınıflandırılırken öncelikle mertebesi belirlenir.
- Lineer veya yarı lineer olup olmadığına bakılır, lineer denklemler için katsayıların sabit veya değişken olmasına göre ayrılır.
- Sağ tarafın sıfır olup olmamasına göre homojen veya homojen olmayan olarak sınıflandırılır.
- 14:17Örnekler
- Örnekler üzerinden kısmi türevli denklemlerin mertebesi, lineer olup olmadığı, katsayıların sabit veya değişken olup olmadığı ve homojen olup olmadığı gösterilmiştir.
- Birinci mertebeden lineer sabit katsayılı homojen, birinci mertebeden lineer değişken katsayılı homojen olmayan, birinci mertebeden yarı lineer homojen ve ikinci mertebeden lineer sabit katsayılı homojen denklemler örnek olarak verilmiştir.
- 20:21Kısmi Türevli Denklemlerin Özellikleri
- Karşı tarafta yazılmamış x artı y var, dolayısıyla homojen olmayan kısmi türevli denklemdir.
- Denklemde x kare çarpı x eksi y kare çarpı y y kısmi türevleri bulunmakta ve ikinci mertebeden bir denklemdir.
- Denklem lineerdir, katsayılar x kare ve y kare olduğu için değişken katsayılıdır.
- 21:13Homojen Kısmi Türevli Denklemler
- Karşı tarafta sıfır olduğu için homojen kısmi türevli denklem olarak adlandırılır.
- Son örnekte x kare x u x u x u y eşittir sıfır denklemi incelenmiştir.
- Bu denklemde bağımlı değişken u katsayısı olduğu için lineer olmayıp yarı lineer bir denklemdir ve homojen kısmi türevli denklem olarak sınıflandırılır.