Buradasın
İntegral İşareti Altında Türev Alma Kuralı (Leibniz Kuralı) Dersi
youtube.com/watch?v=EWSe8thf2Z8Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik dersi formatında olup, integral işareti altında türev alma kuralı (Leibniz kuralı) konusunu ele almaktadır.
- Videoda, Leibniz kuralının ispatı detaylı olarak gösterilmekte, önce basit fonksiyonlar üzerinden türevin limit tanımı kullanılarak hesaplanması anlatılmakta, ardından iki değişkenli fonksiyonlarda kısmi türev kavramı açıklanmaktadır. Ortalama değer teoremi ve Lagrange ortalama değer teoremi üzerinden, integral sınırlarının sabit ve değişken olduğu durumlar ayrı ayrı ele alınmaktadır.
- Video, teorik açıklamaların ardından örneklerle devam etmekte ve bir sonraki videoda devam edileceği belirtilmektedir.
- 00:02Leibniz Kuralı ve Temel Tanımlar
- Leibniz kuralı, integral işareti altında türev alma işleminin nasıl yapıldığını açıklar.
- F(t) = ∫ₐᵗ f(x)dx şeklinde tanımlanan fonksiyonda, f(x) fonksiyonu [a,b] kapalı aralığından R'ye integrallenebilir olmalıdır.
- F fonksiyonunun türevi F'(t) = f(t) olup, bu durumda F fonksiyonu f'nin sürekli olduğu her noktada türevlenebilir olmalıdır.
- 01:35Türevin Limit Tanımı Kullanılarak İspat
- Türevin limit tanımı kullanılarak, F(t)'nin sağdan türevi lim[h→0⁺] (F(t+h) - F(t))/h şeklinde hesaplanır.
- İntegral ifadeleri düzenlendikten sonra, F(t+h) - F(t) ifadesi ∫ₜᵗ⁺ʰ (f(x) - f(t))dx şeklinde yazılabilir.
- f fonksiyonu t noktasında sürekli olduğuna göre, |f(x) - f(t)| < ε koşulu sağlanır ve limit hesaplanarak F'(t) = f(t) elde edilir.
- 12:01İki Değişkenli Fonksiyonlarda Leibniz Kuralı
- İki değişkenli fonksiyon F(t) = ∫ₐᵇ f(x,t)dx şeklinde tanımlanabilir.
- Bu durumda kısmi türev F(t) = ∂/∂t (∫ₐᵇ f(x,t)dx) şeklinde hesaplanır.
- f(x,t) fonksiyonu ve kısmi türevi sürekli olmalıdır ve t değişkeninin artış miktarı Δt ile gösterilir.
- 14:33Ortalama Değer Teoremi ve Türevler
- Ortalama değer teoremi, türevler için özel bir Lagrange ortalama değer teoremi olarak ifade edilebilir.
- İki değişkenli fonksiyonlarda, bir değişken sabit tutulduğunda, ikinci değişkenin değişimine göre türev alınabilir.
- Tek değişkenli fonksiyonlarda ortalama değer teoremi, f(b) - f(a) = f'(c)(b-a) şeklinde ifade edilir ve c, a ile b arasında bir elemandır.
- 15:35Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev
- Çok değişkenli fonksiyonlarda ortalama değer teoremi, tek değişkenli durumdan farklı olarak kısmi türevler kullanılarak ifade edilir.
- Sabit tutulan değişkenin türevi alınmaz, ikinci değişkenin değişimine göre kısmi türev alınır.
- Türev alma işlemi, delta t ile çarpılıp, delta t ile bölünerek ifade edilir.
- 16:45İntegral ve Türev İlişkisi
- İntegralde, fonksiyonun türevi alınarak ve bazı terimlerin ilave edilerek ifade düzenlenir.
- Sürekli fonksiyonlar için, fonksiyonun türevi ile fonksiyon arasındaki farkı ifade eden bir delta değeri bulunabilir.
- İntegraldeki farkın mutlak değeri, delta t sıfıra giderken limit alınarak, fonksiyonun t'ye göre kısmi türevi olarak elde edilir.
- 22:28Leibniz Kuralı
- İntegral sınırları sabit iken Leibniz kuralı, a'dan b'ye f(x,t) dx integralinin t'ye göre türevi olarak ifade edilir.
- İntegral sınırları değişken olduğunda, zincir kuralı kullanılarak türev alınır.
- Leibniz kuralı, integral sınırlarının türevleri ve fonksiyonun kısmi türevleri kullanılarak elde edilir.
- 27:48Örnek Uygulama
- Örnek olarak, E(t) = ∫_t^(t²) sin(x²) dx integralinin türevi hesaplanır.
- İntegral sınırlarının türevleri alınarak, E'(t) = 2t sin(t⁴) - sin(t²) olarak bulunur.
- Leibniz kuralı, farklı bir şekilde tanım kullanılarak da ispatlanabilir.