Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik dersidir. Eğitmen, fonksiyonlar konusunu detaylı bir şekilde anlatmaktadır.
- Video, fonksiyonların tanımı ve özellikleri ile başlayıp, tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesi kavramlarını açıklamaktadır. Daha sonra fonksiyon sayısını hesaplama yöntemleri gösterilmekte ve üniversite sınavlarında çıkmış benzer sorular üzerinden çözüm teknikleri adım adım anlatılmaktadır.
- Videoda üç farklı fonksiyon sorusu çözülmektedir: eşitsizlikleri sağlayan fonksiyonların hangisinin daima doğru olduğunu belirleme, A kümesinin elemanları üzerinden f(x) fonksiyonunun eşitsizliği sağlayan farklı fonksiyonların sayısı hesaplama ve f(x) < x eşitsizliğini sağlayan fonksiyonların sayısı bulma. Her soru için teorik bilgiler ve pratik çözümler sunulmaktadır.
- 00:09Fonksiyon Sayısı Hesaplama
- A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek fonksiyon sayısı, B kümesinin eleman sayısı üzeri A kümesinin eleman sayısıdır.
- Üç elemanlı A kümesinden A'ya tanımlanabilecek fonksiyon sayısı 3 üzeri 3 yani 27'dir.
- Pratikler zaman kazandırır ancak unutulduğunda veya yanlış hatırlandığında sorun yaratabilir, bu nedenle teoriyi bilmek önemlidir.
- 01:34Fonksiyon Tanımı ve Örnekler
- Fonksiyonun tanımı, tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesindeki bir elemanla eşleşmesidir.
- Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalı, her biri karşı tarafta sadece ve sadece bir elemanla eşleşmelidir.
- A'dan A'ya fonksiyon sayısı hesaplanırken, her elemanın 3 farklı yer gitme alternatifi olduğu için 3×3×3=27 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
- 02:58Fonksiyon Belirten İlişkiler
- Fonksiyon belirten bir ilişkinin tanım kümesindeki bütün elemanların karşı tarafta yalnız bir elemanla eşleşmesi gerekir.
- Verilen alfa ilişkilerinden sadece D seçeneği, A kümesinin her elemanının karşı tarafta yalnız bir elemanla eşleşmesini sağlar.
- Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı fonksiyon belirten ilişkiler, her x değeri için sadece bir y değeri vermelidir.
- 07:14Fonksiyon Belirten Denklemler
- Fonksiyon belirtebilmeleri için tanım kümesinin elemanlarını yerine yazdığımızda denklemlerde gerçek sayı çıkması gerekir.
- Birinci denklemde 2 elemanı için gerçek sayı olmadığı için fonksiyon belirtmez.
- İkinci ve üçüncü denklemler her eleman için gerçek sayı verdiğinden fonksiyon belirtirler.
- 09:31Görüntü Kümesi Sorusu
- Görüntü kümesi, tanım kümesinin elemanlarının eşleşme yaptığı yerdeki elemanların oluşturduğu kümedir.
- Görüntü kümesi en çok iki elemanlı olacak şekilde fonksiyonlar yazılabilir.
- Görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyon sayısı, karşı taraftaki 3 elemandan birini seçme olasılığıyla 3'tür.
- 11:42Fonksiyon Sayısı Hesaplama
- Tanım kümesindeki üç elemandan iki tanesi mecburen bir adama, bir tanesi de diğer adama gitmek zorunda kalıyor.
- Üç'ün iki'li kombinasyonu, üç'ün bir'li kombinasyonu ve iki'nin bir'li kombinasyonunun çarpımı ile on sekiz tane iki elemanlı görüntü kümesi fonksiyonu yazılabilir.
- Üç tane bir elemanlı fonksiyon da var, toplamda verilen şarta uyan fonksiyon sayısı yirmi bir oluyor.
- 13:16Fonksiyon Şartları ve Alternatifler
- Fonksiyonun 2 ile 5'in eşleşmesi ve f(x) değeri x değerine eşit olmaması şartları var.
- Bir, iki ve üç elemanları karşı tarafta kendileriyle eşleşmemeli, bir'in dört alternatif, üç'ün dört alternatifi var.
- Her birinin alternatif durum sayısının çarpımı ile on altı tane farklı şarta uyan fonksiyon yazılabilir.
- 14:42Görüntü Kümesinde Eleman Yokluğu
- C'nin görüntü kümesinin bir elemanı olmasını istemiyoruz, bu nedenle hesaplamalardan çıkarıyoruz.
- Tanım kümesinde a, b, c, d varken, karşı tarafta sadece a, b ve d'den bir tanesine gitmek zorunda kalıyorlar.
- Görüntü kümesinde c'nin olmadığı yazılabilecek fonksiyon sayısı üç üzeri dört, yani seksen bir tane fonksiyon yazılabilir.
- 16:03Fonksiyon Şartları ve Alternatifler
- f(x) ≥ 6x şartı verilmiş ve A kümesinin elemanları 1, 2 ve 3 olarak belirlenmiş.
- 1'in eşleşebileceği elemanlar 5 veya 6, 2'nin eşleşebileceği elemanlar 4, 5 veya 6, 3'ün eşleşebileceği elemanlar 3, 4, 5 veya 6.
- Alternatif durum sayılarının çarpımı ile yirmi dört farklı fonksiyon yazılabilir.
- 17:34Fonksiyon Eşitsizlikleri Problemi
- Soruda her x reel sayısı için fonksiyonun belirli bir eşitsizliği sağladığı verilmiştir.
- Verilen eşitsizliklerden hangisinin daima doğrudur sorusuna cevap aranmaktadır.
- F(2) > F(1), F(3) > F(2), F(4) > F(3) ve F(5) > F(4) eşitsizlikleri kesin olarak bilinmektedir.
- 18:27Eşitsizliklerin Doğruluğu
- Birinci eşitsizlik F(3) > F(1) daima doğrudur çünkü F(3) > F(2) ve F(2) > F(1) olduğundan F(3) > F(1) olur.
- İkinci eşitsizlik F(5)² > F(4)·F(3) daima doğru değildir çünkü F(5)=0, F(4)=-1 ve F(3)=-2 değerleri için eşitsizlik sağlanmaz.
- Üçüncü eşitsizlik F(5) + F(4) > F(3) + F(3) daima doğrudur çünkü F(5) > F(3) ve F(4) > F(3) olduğundan toplamları da büyük olur.
- 20:16Fonksiyon Sayısı Problemi
- A kümesinin elemanları üzerinden f(1) + f(3) ≥ 4, f(2) + f(2) ≥ 4, f(3) + f(1) ≥ 4 eşitsizlikleri incelenmektedir.
- f(2) değeri 2 veya 3 olabilir, f(1) ve f(3) değerleri için 6 farklı kombinasyon bulunabilir.
- Toplamda 12 farklı fonksiyon yazılabilir.
- 21:58Fonksiyon Eşitsizliği Problemi
- Fonksiyonun her x gerçel sayısı için f(x) < x eşitsizliğini sağladığı verilmiştir.
- Tanım kümesindeki elemanlar için f(1) = 0, f(2) = 0, f(3) için 2 alternatif, f(4) için 3 alternatif bulunmuştur.
- Eşitsizliği sağlayan 6 farklı fonksiyon yazılabilir.