Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik eğitim içeriğidir. Eğitmen, belirsiz integral konusunda kısmi integrasyon yöntemini anlatmaktadır.
- Video, polinom ve logaritma içeren fonksiyonların belirsiz integralinin nasıl çözüleceğini açıklamaktadır. Eğitmen önce kısmi integrasyon formülünü hatırlatıp, "LAPTU" kısaltması ile hangi fonksiyona u, hangi fonksiyona dv denileceğini belirtir. Ardından bir örnek soru üzerinden adım adım çözüm yapar: ln(x+1) ve 2x içeren bir integrali çözerken, paydaya bölme işlemi yaparak ve kısmi integrasyon formülünü uygulayarak sonucu bulur.
- 00:09Belirsiz İntegral Sorusu
- Soruda polinom ve logaritma içeren bir fonksiyonun belirsiz integrali bulunuyor.
- Logaritmanın içinin türevi önündeki fonksiyonu vermediği için u-değişimi yöntemi uygulanamıyor.
- Bu tip integrallerde kısmi integrasyon metodu genellikle sonuca götürüyor.
- 01:22Kısmi İntegrasyon Formülü
- Kısmi integrasyon formülü: ∫u dv = uv - ∫v du şeklindedir.
- İntegraldeki fonksiyonlardan hangisine u, hangisine dv denileceği için "LAPTU" kısaltması kullanılır: Logaritmik, Arklı, Polinom, Trigonometrik, Üstel.
- Bu dönüşüm uygulandığında integralin %80-90'ı çözülebiliyor.
- 02:32Sorunun Çözümü
- Soruda ln(x+1) fonksiyonuna u, 1/(x+1) dx'e dv, 2x dx'e dv denilir.
- İntegral formülü uygulandığında ∫(x²/x+1) dx = x²/2 ln(x+1) - ∫(x-1) dx - ∫(1/(x+1)) dx şeklinde yazılır.
- Yukarıdaki polinom, aşağıdaki polinom olduğunda ve yukarıdaki derecenin büyük olduğu durumda, x²'yi x+1'e bölmek gerekir.
- 04:46Bölme İşlemi ve Sonuç
- Bölme işlemi ekleme çıkarma yöntemiyle yapılır: x² - 1 + 1 = (x-1) + 1/(x+1).
- İntegral sonucunda ∫(x²/x+1) dx = x²/2 ln(x+1) - x - ln(x+1) + C olarak bulunur.