• Buradasın

    Belirli İntegral ve Değişken Değiştirme Yöntemi Eğitim Videosu

    youtube.com/watch?v=9IjL7Zb8kZQ

    Yapay zekadan makale özeti

    • Bu video, bir matematik öğretmeni tarafından sunulan belirli integral konusunu anlatan eğitim içeriğidir. Öğretmen, önceki derste konuyu anlattığını belirterek bu derste soru çözümlerine odaklanmaktadır.
    • Videoda ağırlıklı olarak değişken değiştirme yöntemi kullanılarak çözülebilecek belirli integral soruları ele alınmaktadır. Öğretmen, üç sayfalık bir ders hazırladığını belirterek çeşitli integral sorularını adım adım çözülmektedir. Çözülen sorular arasında ln x, x-3, x = πu, kök x, e üzeri fonksiyonları ve trigonometrik fonksiyonlar içeren integral problemleri bulunmaktadır.
    • Videoda ayrıca 2009, 2010, 2011, 2013 ve 2016 LYS sınavlarından çıkmış integral soruları çözülmektedir. Her soruda değişken değiştirme yönteminin nasıl uygulanacağı, sınırların nasıl belirleneceği ve integral hesaplamalarının adım adım nasıl yapıldığı detaylı şekilde açıklanmaktadır.
    00:03Belirli İntegral Dersi Tanıtımı
    • Belirli integral konusuna devam ediliyor ve bu derste ağırlıklı olarak değişken değiştirme yöntemi kullanarak çözülebilecek sorular işlenecek.
    • Dersin açıklamalarında bulunan linkten üç sayfalık dersin PDF formatında indirilebilir hale getirilmiş.
    • Üniversite sınavında sorulmuş güzel sorular da çözülecek.
    00:57İntegral Çözümü - Çarpım Türevi Kullanımı
    • İntegral hesaplamadan önce çarpma işleminin türevi hatırlatılıyor: (x·f(x))' = f(x) + x·f'(x).
    • İntegral içindeki ifade, x·f(x) fonksiyonunun türevi olduğu için integralin sonucu x·f(x) olur.
    • Sınırlar yerine yazılıp f(1) hesaplanarak integralin sonucu -1 olarak bulunur.
    03:04Fonksiyon Grafiği Kullanarak İntegral Çözümü
    • Fonksiyonun grafiği verilmiş ve e^x·x + e^f(x)·dx integrali hesaplanıyor.
    • İntegralin sonucu x·f(x) olup, sınırlar yerine yazılıyor.
    • Fonksiyonun grafiğinden f(3) = 5 ve f(-4) = 0 değerleri bulunarak integralin sonucu 15 olarak hesaplanıyor.
    04:51Değişken Değiştirme Yöntemi ile İntegral Çözümü
    • sin(x)^3·cos(x)·dx integralinde değişken değiştirme yöntemi kullanılıyor: u = sin(x), du = cos(x)·dx.
    • Sınırlar da değişken değiştirilerek alt sınır π/4'ten √2/2, üst sınır π/2'den √3/2'ye dönüştürülüyor.
    • İntegral hesaplanarak sonucu 5/16 olarak bulunuyor.
    08:18İkinci Değişken Değiştirme Örneği
    • e^(2·sin(x)-1)·cos(x)·dx integralinde değişken değiştirme yöntemi kullanılıyor: u = 2·sin(x)-1, du = 2·cos(x)·dx.
    • Sınırlar da değişken değiştirilerek alt sınır π/6'dan 0, üst sınır π/2'den 1'e dönüştürülüyor.
    • İntegral hesaplanarak sonucu (e-1)/2 olarak bulunuyor.
    10:44İntegralde Değişken Değiştirme
    • İntegralde ln x dönüşümü için u = ln x dönüşümü yapılarak integralde x yerine e^u, dx yerine e^u du yazılır.
    • İntegralin sınırları da değişken değiştirildiğinde yeniden hesaplanır: üst sınır e için u = ln(e) = 1, alt sınır 1 için u = ln(1) = 0 olur.
    • Değişken değiştirme sonucu elde edilen integral, orijinal integralin değerini korur ancak değişken ve sınırlar farklı hale gelir.
    13:11İkinci İntegral Örneği
    • x-3 = t dönüşümü için önce integral içindeki ifadeler x-3'e benzetilir: x²-6x+12 = (x-3)²+3 ve x² = (x-3)+1 şeklinde yazılır.
    • Değişken değiştirme sonrası integralde x-3 yerine t, dx yerine dt yazılır.
    • İntegralin sınırları da değişken değiştirildiğinde yeniden hesaplanır: alt sınır 0 için t = x-3 = -3, üst sınır 1 için t = x-3 = -2 olur.
    15:48Üçüncü İntegral Örneği
    • πx = u dönüşümü için integralde x yerine u/π, dx yerine -du/π yazılır.
    • İntegralin sınırları da değişken değiştirildiğinde yeniden hesaplanır: alt sınır π/2 için u = πx = π/2, üst sınır π için u = πx = π olur.
    • Değişken değiştirme sonrası integralde sin(πx) = sin(u), cos(πx) = -cos(u) yazılır ve integral sınırlarının yerleri değiştirilerek son hali elde edilir.
    19:56İntegral Değişken Dönüşümü
    • Bir'den on altıya kadar olan integralde kök x = u dönüşümü yapılarak integral hesaplanıyor.
    • Dönüşümde x = u² ve dx = 2u du ilişkisi kullanılıyor.
    • İntegral sınırları x = 16 için u = 4, x = 1 için u = 1 olarak belirleniyor.
    21:42Logaritmik İntegral Hesaplama
    • Bir bölü x eksi bir çarpı bir bölü x formunda olan integralde ln(x-1) = u dönüşümü yapılıyor.
    • Dönüşümde dx = du ilişkisi kullanılıyor ve sınırlar x = 2 için u = 1, x = 1 için u = -1 olarak belirleniyor.
    • İntegral sonucunda ln|u| ifadesinin 1'den -1'e integrali hesaplanarak sonuç sıfır bulunuyor.
    24:06Karmaşık İntegral Hesaplama
    • e^(2x-3) fonksiyonunun diferansiyeli alınarak integralde yerine yazılıyor.
    • Payda 1+e^(2x) = u dönüşümü yapılıyor ve du = 2e^(2x)dx ilişkisi kullanılıyor.
    • İntegral sınırları x = 0 için u = 2, x = 1 için u = 1+e² olarak belirleniyor ve sonuç ln(1+e²) - ln(2) bulunuyor.
    27:53İntegral Benzetmesi
    • Bir integralde x değişkeni yerine u değişkeni kullanılarak karışıklık önleniyor.
    • e^f(u) = 30 eşitliği kullanılarak integral hesaplanıyor.
    • ln(x) = u dönüşümü yapılıp sınırlar x = 1 için u = 0, x = 2 için u = ln(2) olarak belirleniyor ve sonuç 30 bulunuyor.
    31:02İntegral Hesaplama Örneği
    • Karmaşık bir anatik düzlemde f(x) fonksiyonu, bordo ve mavi renkli iki teğet doğrusu verilmiş, bordo doğrusu f(x) fonksiyonu -3 apsis noktasında, mavi doğrusu ise 4 apsis noktasında teğet olmuş.
    • İntegral hesaplaması için -3'ten 4'e kadar f(x)² × f''(x) integrali istenmiş ve değişken değiştirme yöntemi kullanılmış.
    • Değişken değiştirme yöntemiyle u = f(x) ve du = f'(x)dx alınarak integral u³/3 formuna dönüştürülmüş ve sınırlar 1 ile 2 olarak hesaplanmış, sonucun 7/3 olduğu bulunmuş.
    34:18Trigonometrik İntegral Örneği
    • 2006 yılında üniversite sınavında sorulmuş bir trigonometrik integralde t = πx dönüşümü yapılarak x yerine πt yazılmış ve dx = -dt alınmış.
    • Sınırlar π/2 ile π arasında olduğundan, t değişkeninin sınırları 0 ile 2 arasında hesaplanmış.
    • sin(π-πt) = sin(πt) ve cos(π-πt) = -cos(πt) dönüşümleri yapılarak integralin son hali sin(t) - cos(t) dt olarak bulunmuş ve cevap B şıkkı olarak belirlenmiş.
    38:18Kosinüs ve Sinüs İçeren İntegral
    • 2001 LYS sınavında sorulmuş bir integralde 1/cos²(x) × sin(x) ifadesi hesaplanacak.
    • u = cos(x) değişken değiştirme yöntemi kullanılarak du = -sin(x)dx alınmış ve integral -1/u² du formuna dönüştürülmüş.
    • Sınırlar 1/3 ile 1 arasında hesaplanmış, sınırların yerleri değiştirilerek integral +1/u formuna getirilmiş ve sonucun 1 bulunmuş.
    40:55İntegral Hesaplama
    • Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için, f(x) integrali 1 ile 3 aralığında 5'e eşit olduğuna göre, verilen toplam integralin hesaplanması isteniyor.
    • İntegral, dört x dx ve f(2x+1) dx olarak iki ayrı integral olarak ayrılmış ve hesaplanmıştır.
    • Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak, f(2x+1) dx integrali hesaplanmış ve sonucun 13/2 olduğu bulunmuştur.
    45:20Türev ve İntegral Sorusu
    • 2011 LYS sınavında sorulmuş bir soruda, f fonksiyonunun a noktasındaki türevinin 1 ve b noktasındaki türevinin kök 3 olduğu belirtilmiştir.
    • f''(x) fonksiyonunun a ile b aralığında sürekli olduğu verilmiş ve bu aralıktaki integralin hesaplanması istenmiştir.
    • Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak integral hesaplanmış ve sonucun -1 olduğu bulunmuştur.
    47:36Köklü İfade İçeren İntegral
    • 2010 LYS sorusunda, köklü ifade içeren bir integral hesaplanmıştır.
    • Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak, u = √(2x+1) dönüşümü yapılmış ve integral yeniden yazılmıştır.
    • İntegral hesaplanmış ve sonucun 18 olduğu bulunmuştur.

    Yanıtı değerlendir

  • Yazeka sinir ağı makaleleri veya videoları özetliyor