Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik dersi formatında olup, bir eğitmen tarafından bağıntıların özellikleri anlatılmaktadır.
- Videoda yansıma, simetri, geçişme ve ters simetri bağıntı özellikleri detaylı olarak açıklanmaktadır. Eğitmen önce bu özelliklerin tanımını vererek, ardından örneklerle bu özelliklerin nasıl kontrol edileceğini göstermektedir. İlk örnek A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı üzerinden yansıma, simetri, geçişme ve ters simetri özellikleri incelenmekte, ikinci örnek ise A kümesi üzerinde tanımlı başka bir bağıntı üzerinden aynı özellikler tekrar ele alınmaktadır. Video, bağıntıların özelliklerini anlamak ve test etmek isteyenler için faydalı bir kaynaktır.
- 00:08Bağıntıların Özellikleri
- Bu videoda yansıma, simetri, geçişme ve ters simetri özelliklerinden bahsedilecek.
- Beta, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntıdır ve A×A kartezyen çarpımının alt kümesidir.
- 01:06Bağıntıların Özelliklerinin Tanımları
- Yansıma özelliği: A kümesinin her elemanı için (x,x) bağıntıda ise, bağıntı yansıyandır.
- Simetri özelliği: Eğer (x,y) elemanı bağıntıda ise ve (y,x) de bağıntıda ise, bağıntı simetriktir.
- Geçişkenlik özelliği: Eğer (x,y) ve (y,z) bağıntıda ise ve (x,z) de bağıntıda ise, bağıntı geçişkendir.
- Ters simetri özelliği: Eğer (x,y) bağıntıda ise ve (y,x) bağıntıda değilse, bağıntı ters simetriktir.
- 03:00Özelliklerin Kontrol Edilmesi
- Yansıma özelliği için A kümesinin bütün elemanlarını kontrol etmek gerekir.
- Simetri özelliği için bağıntıdaki bütün sıralı ikilileri kontrol etmek gerekir.
- Geçişkenlik özelliği için bir elemanla bitip aynı elemanla başlayan başka bir sıralı ikili varsa onları kontrol etmek gerekir.
- Ters simetri özelliği için bağıntının bütün elemanlarını kontrol etmek gerekir.
- 03:37Ters Simetri Özellikinin Alternatif Tanımı
- Ters simetri özelliğinin alternatif tanımı: Eğer (x,y) ve (y,x) bağıntıda ise ve x≠y ise, bağıntı ters simetriktir.
- Bu tanım, kontrol etmek için daha pratiktir.
- Ters simetri özelliği: İki farklı eleman için (x,y) ve (y,x) aynı anda bağlantılı bulunamaz.
- 04:54Örneklerle Özelliklerin İncelenmesi
- İlk örnek: A kümesi {1,2,3} ve bağıntı {(1,1),(2,2),(3,3)} olsun.
- Bu bağıntı yansıyan değildir çünkü (2,2) ve (3,3) bulunmaz.
- Bağıntı simetrik değildir çünkü (1,2) bulunurken (2,1) bulunmaz.
- Bağıntı geçişkendir çünkü (1,1) ve (1,2) bulunur ve (1,2) de bulunur.
- Bağıntı ters simetriktir çünkü (1,2) bulunurken (2,1) bulunmaz.
- 09:06İkinci Örnek
- İkinci örnek: A kümesi {1,2,3,4,5} ve bağıntı (x,y) eleman A×A için x-y=3 olarak tanımlansın.
- Bu bağıntı yansıyan değildir çünkü (1,1) bulunmaz.
- Bağıntı simetrik değildir çünkü (3,4) bulunurken (4,3) bulunmaz.
- Bağıntı geçişkendir çünkü geçişkenliği bozan bir eleman yoktur.
- Bağıntı ters simetriktir çünkü (3,4) bulunurken (4,3) bulunmaz.
- 13:14Sonuç
- Simetrik değilse ters simetrik, simetrik, simetrik değil ya da ters simetrik değilse simetrik gibi çıkarımlar genellikle doğru olsa da özel örnekler vardır.
- Örneğin, {(1,1)} bağıntısı hem simetriktir hem de ters simetriktir.