• Buradasın

    10. Sınıf Matematik: Üçgenlerde Alan Hesaplamaları ve Benzerlik

    youtube.com/watch?v=JA8rIsGdJqM

    Yapay zekadan makale özeti

    • Bu video, bir matematik öğretmeninin 10. sınıf öğrencilerine yönelik hazırladığı kapsamlı bir eğitim içeriğidir. Öğretmen, üçgenlerde alan hesaplamaları ve benzerlik konularını detaylı şekilde anlatmaktadır.
    • Video, üçgende alan formülleri ile başlayıp, sinüs alan formülü, üçgenlerde alan parçalamaları, açıortay ve kenarortay teoremleri, benzerlik oranı ile alan arasındaki ilişki gibi konuları içermektedir. Öğretmen, her konuyu örnek sorular üzerinden pekiştirmekte ve farklı çözüm yöntemlerini göstermektedir.
    • Videoda ayrıca klaket döndürme problemi, dik üçgenlerde alan hesaplamaları, üçgenleri böldüğünde oluşan alanların oranlarını hesaplama, kenarortayların kesim noktasının ağırlık merkezi olduğu, kenarortayların oluşturduğu üçgenlerin alanlarının eşit olduğu ve 3-1-2 kuralı gibi konular da ele alınmaktadır. Video yaklaşık iki saat sürmekte ve öğretmen, konuyu yüzeysel değil, detaylı bir şekilde anlattığını vurgulamaktadır.
    Üçgende Alan Formülleri
    • 10. sınıf konu anlatımları devam ediyor ve tüm üniteler bitirilecek.
    • Geçen derste üçgende alan formülleri anlatılmış, sinüs alan formülü kullanılmadan çözümlerin nasıl yapılacağı gösterilmiş.
    • Bu derste sinüs alan formülü hatırlatılacak, benzerlik alan ilişkisi, açıortayda ve kenarortayda alan davranışları konuları ele alınacak.
    01:00Sinüs Alan Formülü
    • Sinüs alan formülü, üçgenin iki kenarını ve bunların arasındaki açının sinüsünü biliyorsak kullanılır.
    • Formül: 1/2 × kenar1 × kenar2 × sin(aralarındaki açı) şeklindedir.
    • Sinüs değerleri: sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 1, sin(120°) = √3/2, sin(135°) = √2/2, sin(150°) = 1/2'dir.
    03:14Örnek Sorular
    • İlk örnek soruda, uzunluğu 30 cm olan ve iki eş dikdörtgenden oluşan klaketin A köşesi etrafında 30° döndürüldüğünde oluşan üçgenin alanı 225 cm² olarak hesaplanmıştır.
    • İkinci örnek soruda, 6-8-10 dik üçgeninde ADBC üçgeninin alanı, büyük üçgenin alanından küçük üçgenin alanı çıkarılarak 18 cm² olarak bulunmuştur.
    • Üçüncü örnek soruda, DC = 3a ve EC = a olan, AC = 12 ve BC = 15 olan üçgenin alanı, sinüs alfa değeri hesaplanarak 30 cm² olarak hesaplanmıştır.
    • Dördüncü örnek soruda, iki diklik ve AB = AC olan, AB = 6 cm olan üçgenin alanı, sinüs alfa değeri hesaplanarak 18 cm² olarak bulunmuştur.
    10:27Üçgenlerin Birleşimi ve Alan Hesaplama
    • İki üçgenin kenarları çakıştırılarak birleştirilmiş ve sarı ile kırmızı üçgenlerin üst üste geldiği için turuncu renk oluşmuş.
    • Soruda verilen üçgenlerin kenar uzunlukları 12, 18, 15 ve x olarak belirtilmiş, ayrıca kırmızı ve sarı üçgenlerin alanlarının birbirine eşit olduğu söylenmiş.
    • ABC üçgeninin alanı, turuncu ve sarı üçgenlerin alanlarının toplamı olan a+s olarak hesaplanmış.
    12:09Sinüslü Alan Formülü Kullanımı
    • ABC üçgeninin alanı için sinüslü alan formülü kullanılarak 1/2 × 30 × x × sin(alfa) hesaplanmış.
    • Diğer üçgenin alanı için de sinüslü alan formülü kullanılarak 1/2 × 12 × (x+15) × sin(alfa) hesaplanmış.
    • İki alan ifadesinin eşit olduğu denklemi çözülerek x değeri 10 olarak bulunmuş.
    13:56Sinüslü Alan Formülü ile Alan Parçalama
    • Sinüslü alan formülü biliniyorsa alan parçalamada kolay bir yöntem kullanılabilir, ancak sinüslü alan formülü bilinmese de önceki derste sinüs kullanmadan alan parçalamaları yapılmıştır.
    • Üçgenler ortak bir köşeye sahip olduğunda, sinüslü alan formülü kullanılarak üçgenlerin alanları hesaplanabilir.
    • Sinüslü alan formülü: Alan = 1/2 × kenar1 × kenar2 × sin(aralarındaki açı) şeklindedir.
    16:45Alan Parçalama Yöntemi
    • Alan parçalamada, küçük üçgenin alanı kenarlarının çarpımının yarısı olarak hesaplanabilir.
    • Büyük üçgenin alanı, tüm kenarların çarpımının yarısı olarak hesaplanabilir.
    • İki üçgenin alanları arasındaki oran, kenarların çarpımlarının oranına eşittir.
    20:43Örnek Problemler
    • ABC üçgeninin tüm alanının 24 olduğu bilindiğinde, sinüslü alan formülü kullanılarak üçgenlerin alanları hesaplanabilir.
    • Sinüslü alan formülü bilinmese de, önceki derste anlatılan yöntemle üçgenler bölünerek alanlar hesaplanabilir.
    • Alan parçalama problemlerinde, sinüslü alan formülü yazılı sınavlarda karşınıza gelebilir.
    25:15Üçgen Alan Hesaplama
    • Sinüslü alan hesaplaması için önce en küçük üçgenin alanı (2ab/2 = 2s) bulunur.
    • İkinci üçgenin alanı (4b×4a/2 = 16s) hesaplanır ve toplam alan 16s+14s = 36s olarak bulunur.
    • En büyük üçgenin alanı 36s olarak hesaplanır ve istenen alan 14s/36s = 7/18 olarak bulunur.
    26:47Açıortay Bağıntıları
    • Açıortay bağıntısında kolların bacaklara oranları eşittir.
    • Üçgenin alanı 42 ise, kenarların oranları 6/8 = 3/4 olduğundan alanlar 18s ve 24s olur.
    • Açıortayların kesim noktası içte çemberin merkezidir ve kollara çizilen dikmeler birbirine eşittir.
    30:17Kenarortay Özellikleri
    • Tek başına bir kenarortay çizildiğinde üçgeni eşit iki parçaya ayırır.
    • Kenarortayların kesim noktası ağırlık merkezidir ve ağırlık merkezine çizilen doğrular üçgeni eşit üç parçaya ayırır.
    • Kenarortayların kesim noktasından kenar orta noktalarını birleştiren doğru, üç yüz on iki kuralını oluşturur.
    33:19Örnek Sorular
    • Dik üçgende açıortay çizildiğinde, kenarlarla orantılı bölme yapılır ve alan hesaplaması yapılır.
    • Açıortay bağıntısında, bir bölgenin alanı bir bölgenin alanının üç katıysa, aynı köşeden çizilen kenar da üç katıdır.
    • Dik üçgende açıortay ve dik açı kullanılarak alan hesaplamaları yapılabilir.
    35:33Dış Açıortay Problemi
    • Dış açıortay teoremine göre, bir üçgende bir iç açıortayla bir dış açıortay çizilirse onların arası 90 derece olur.
    • Dış açıortay teoremi kullanılarak, x/x+4a = k/3k oranı kurularak x = 2a bulunur.
    • a = 8 olduğunda, x = 16 olarak hesaplanır.
    37:15Dik Üçgen Alanı Hesaplama
    • Dik üçgende dik kolların çarpımlarının yarısı formülü kullanılarak alan hesaplanır.
    • Benzerlik kuralı kullanılarak x² = 180 bulunur ve x = 6√5 olarak hesaplanır.
    • Pisagor bağıntısı kullanılarak diğer kenar uzunlukları bulunur ve dörtgenin alanı 81 birim kare olarak hesaplanır.
    40:30Açıortay Özellikleri
    • Açıortay çizildiğinde, açıortayın bir kenara olan uzaklıkları birbirine eşittir.
    • Dik açılar atıldığında oluşan diklikler birbirine eşittir.
    • Öklit bağıntısı kullanılarak kenar uzunlukları bulunur ve alan hesaplanır.
    41:43Kenarortay ve Ağırlık Merkezi
    • Üçgenin ağırlık merkezi G noktasında olduğunda, kenarortaylar çizilir ve oluşan üçgenlerin alanları birbirine eşittir.
    • Kenarortayların oluşturduğu üçgenlerin alanları toplamı, üçgenin tamamının alanının yarısıdır.
    • Kenarortayların oluşturduğu iç üçgenin alanı, üçgenin tamamının alanının 1/12'si olarak hesaplanır.
    45:55Benzerlik ve Alan İlişkisi
    • Benzerlikle alan arasındaki ilişki çok önemlidir; bir üçgenin alanı biliniyorsa ve benzerlik oranı biliniyorsa, hesap yapmadan diğer benzer üçgenin alanını bulabiliriz.
    • Benzer üçgenlerde, benzerlik oranı k ise, alanları oranı k²'dir.
    • Örneğin, 3-4-5 üçgeninin alanı 6, 6-8-10 üçgeninin alanı ise 24'tür, yani alan 4 katına çıkmıştır.
    47:19Benzerlik Oranının Alanlara Etkisi
    • Benzerlik oranı k ise, alanları oranı k²'dir; yani küçük üçgenin alanı s ise, büyük üçgenin alanı 4s kadardır.
    • Orta taban çizildiğinde oluşan üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı 1/2'dir.
    • Paraleller çizilip eşit bölerek çizildiğinde, alanlar s, 3s, 5s, 7s, 9s, 11s şeklinde devam eder.
    48:43Benzerlik Alan İlişkisi Soruları
    • Benzerlik alan ilişkisi sorularında, benzerlik oranı karesi alanlar oranını verir.
    • Paralellik varsa benzerlik vardır ve benzerlik oranı kullanılarak alanlar hesaplanabilir.
    • Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar oranı benzerlik oranını verir ve alanlar oranı bu oranın karesidir.
    50:15Benzerlik Problemleri Çözümü
    • Paralellik varsa benzerlik vardır ve benzerlik oranı kullanılarak alanlar hesaplanabilir.
    • Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar oranı benzerlik oranını verir ve alanlar oranı bu oranın karesidir.
    • Benzerlik oranları kullanılarak kenar uzunlukları da hesaplanabilir.
    57:18Dersin Kapanışı
    • Yaklaşık iki saat boyunca alan konusu anlatılmıştır.
    • Derslerde yüzeysel değil, derinlemesine çalışma yapılmıştır.
    • Kısa videolar tercih edilebilir ancak sonucuna da katlanılmalıdır.

    Yanıtı değerlendir

  • Yazeka sinir ağı makaleleri veya videoları özetliyor