Buradasın

10. Sınıf Matematik Dersi: Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık

youtube.com/watch?v=TBqBJ9IL6dA

Yapay zekadan makale özeti

Kısa
Ayrıntılı

Bu video, matematik öğretmeni Mustafa Güler (Matematiğin Güler Yüzü) tarafından sunulan kapsamlı bir eğitim içeriğidir. Öğretmen, tahtada notlar alarak ve örnekler üzerinden konuları adım adım açıklamaktadır.
Video, 10. sınıf matematik programının permütasyon, kombinasyon ve olasılık konularını kapsamaktadır. İlk bölümde permütasyon ve kombinasyon arasındaki farklar, kombinasyon formülü ve temel özellikleri anlatılmakta, ardından yol problemleri, rakamları farklı sayılar, tekrarlı permütasyon ve geometrik şekillerin sayısı hesaplanması gibi konular ele alınmaktadır. Son bölümde ise olasılık konusu, koşullu olasılık ve binom açılımı detaylı şekilde açıklanmaktadır.
Öğretmen, her konuyu formüller yerine mantıksal yaklaşımlarla anlatmakta ve öğrencilerin konuyu anlamaları gerektiğini vurgulamaktadır. Video boyunca çeşitli problem türleri çözülmekte, "çark" (çarpma) ve "topla" (toplama) formülleri, "tüm durum eksi doğrusalları çıkar" kuralı gibi pratik yöntemler paylaşılmaktadır.

Giriş ve Konu Tanıtımı: Matematik öğretmeni Mustafa Güler, 10. sınıf 1. dönem 1. yazılı için permütasyon, kombinasyon, olasılık ve binom konularını anlatacak.
Videoda permütasyon ve kombinasyon arasındaki farklar, kombinasyon hesaplamaları ve permütasyon problemlerinde kombinasyon kullanımı gösterilecek.
00:39Kombinasyon ve Permütasyon Arasındaki Fark: Kombinasyonda sadece seçim yapılırken, permütasyonda hem seçim hem sıralama yapılır.
Sıralama problemlerinde faktöriyel kullanılır (örneğin 5 kişi düz bir sırada 5! farklı şekilde oturur).
Seçme problemlerinde kombinasyon kullanılır (örneğin 10 kişiden 3 kişi 10!/(3!×7!) = 120 farklı şekilde seçilebilir).
02:14Kombinasyon Hesaplama Yöntemleri: Kombinasyon hesaplamasında üstteki sayıdan alttakini kadar adım geriye gidilir ve alttaki sayı kadar adım geriye gidilir.
Hesaplanan değerler çarpılıp, alttaki sayı kadar faktöriyel ile bölünür (örneğin 10!/(3!×7!) = 120).
Kombinasyon problemlerinde x ve y'nin toplamı üstteki sayıya eşit olabilir veya x=y olabilir.
05:44Kombinasyon Özellikleri: Ardışık altlar olan kombinasyonlarda (örneğin 10'un 4'lüsü ile 10'un 5'li) üstü bir artırılıp büyük olan sayı tabana yazılır (11'in 4'lüsü).
Ardışık üstler olan kombinasyonlarda (örneğin 15'in 6'lısı ile 15'in 7'li) toplamı üstteki sayıya eşit olan kombinasyon bulunur (18'in 9'lu).
Bir sayının sıfırlısı daima 1'dir ve bir sayının bir'lisi o sayıya eşittir.
08:32Permütasyon ve Kombinasyon Uygulamaları: Kombinasyon seçim yapmak demektir (örneğin 10 kişiden 3 kişi 10'un 3'lüsü).
Permütasyon hem seçim hem sıralama yapmak demektir (örneğin 10 kişiden 3 kişilik sırada 10'un 3'lüsü × 3! = 120 farklı şekilde oturabilirler).
5 kız ve 4 erkek arasından 3 kişilik ekip oluşturulması problemi 9'un 3'lüsü şeklinde çözülür.
10:11Kombinasyon Problemleri: Dokuz kişiden üç kişi seçme problemi için kombinasyon formülü kullanılır: 9C3 = 9×8×7/3×2×1 = 84 farklı şekilde seçim yapılır.
Bir kız ve iki erkek seçme problemi için 5C1 × 4C2 = 5×4 = 20 farklı şekilde seçim yapılır.
En az biri kız olan üç kişilik ekip oluşturma problemi için 5C1×4C2 + 5C2×4C1 + 5C3 = 30 + 20 + 10 = 60 farklı şekilde seçim yapılır.
13:45Permütasyon ve Kombinasyon Farkları: Permütasyonda hem seçip hem sıralarız, kombinasyonda ise sadece seçip sıralamayız.
Permütasyonda sadece üstte yüklenirken, kombinasyonda hem üstte hem altta yüklenir.
Permütasyonda "onun yedilisi" gibi ifadeler sadece ondan yedi adım geriye giderek çarpılır, kombinasyonda ise "onun yedilisi" gibi ifadeler kullanılmaz.
16:09Ana Formüller: Permütasyon, kombinasyon ve olasılık problemlerinde kullanılan ana formül "çarp veya topla"dır.
Soru işaretinin yanındaki "ve" kelimesi çarpma anlamına gelirken, "veya" kelimesi toplama anlamına gelir.
İkinci ana formülde, soru içerisinde verilen görev bitene kadar daima çarpma yapılır, görev bittiğinde yeni bir alternatif yol varsa toplama devreye girer.
19:55Çarpma ve Toplama Kuralları: Bir görev bitene kadar daima çarpma yapılır, görev bittiğinde toplama devreye girer.
A'dan C'ye gitmek için belden geçmek şartıyla, A'dan B'ye 3 yol, B'den C'ye 4 yol olduğundan toplam 12 farklı şekilde gidilebilir.
Dönüşte giden yollar kullanılmamak şartıyla, A'dan B'ye 3 yol, B'den C'ye 4 yol olduğundan toplam 12 farklı şekilde gidilebilir.
21:42Toplama Kurallarının Uygulanması: A'dan D'ye gitmek için üstten 3 yol, alttan 2 yol olduğundan toplam 12 farklı şekilde gidilebilir.
A'dan C'ye git ve gel için, kısa yoldan gidip kısa yoldan gelme, kısa yoldan gidip uzun yoldan gelme, uzun yoldan gidip uzun yoldan gelme, uzun yoldan gidip kısa yoldan gelme olmak üzere 6 farklı şekilde gidilip gelinir.
25:47Rakamları Farklı Sayılar Problemleri: Rakamları farklı dediği zaman her rakamı ayrı düşünmek ve bir daha kullanamamak gerekir.
Sıfır varsa, sıfırı ayrı diğer rakamları ayrı düşünmek gerekir.
Rakamları farklı problemlerinde permütasyon ve kombinasyon iç içe girmiş iki konu gibi düşünülmelidir.
27:14Tek ve Çift Sayılar Problemleri: Tek sayı yazmak için bir, üç ve beş rakamlarından birini seçmek gerekir.
Çift sayı yazmak için sıfır, iki, dört ve altı rakamlarından birini seçmek gerekir.
Rakamları farklı problemlerinde sıfır başa gelmez, bu nedenle sıfır için ayrı işlem yapılır.
30:19Bölünebilme Kuralları ve Sayı Karşılaştırma Problemleri: Beş ile bölünebilen sayılar ya sıfır ya da beş olmalıdır.
Üçyüz'den büyük sayılar için üç, dört, beş ve altı rakamlarından birini seçmek gerekir.
İkiyüzkırk'tan küçük sayılar için ikiyüz ile ikiyüzkırk arasında ve ikiyüz'den küçük iki farklı durum düşünülmelidir.
34:54Rakamlarla Permütasyon Problemi: Soruda 300'den büyük ve tek sayılar isteniyor, önce çift sayılar sonra tek sayılar ayrı ayrı incelenecek.
Sıfırın başa gelme ihtimalinden dolayı ayrı yazılması gerektiği, ancak 300'den büyük sayılar için sıfırın başa gelme ihtimali olmadığı belirtiliyor.
Ortak rakamlar (4 ve 6) silinerek, kalan rakamlarla permütasyon hesaplaması yapılıyor.
38:04Permütasyon Kavramı ve Örnekler: Permütasyon, kombinasyon ve olasılık konularında soru ezberlenmemeli, mantığına yatırılmalı.
Farklı kitapların bir rafa dizilmesi problemi için, toplam 12 kitap olduğu için 12 faktöriyel hesaplanıyor.
Bir kişi düz bir sıraya dizilmesi problemi için 5 faktöriyel, üç kişi için 3 faktöriyel hesaplanıyor.
40:44Bağlı Kitaplar Problemi: Fizik kitapları birbirine bağlandığında, beş fizik kitabı bir sayı gibi görülüyor ve geriye üç matematik ve dört kimya kitabı kalıyor.
Toplam 8 kitap olduğu için 8 faktöriyel çarpı, bağladıkların kendi içinde yer değiştirebilmesi için 5 faktöriyel hesaplanıyor.
Aynı branşın kitapları yanında olmak kaydıyla, üç matematik, dört kimya ve beş fizik kitabı birbirine bağlandığında, toplam 3 faktöriyel çarpı 4 faktöriyel çarpı 5 faktöriyel hesaplanıyor.
42:33Matematik Kitapları Arası Yerleştirme: Herhangi iki matematik kitabı yan yana olmamak kaydıyla yerleştirme problemi için, önce matematik kitapları aralara yerleştiriliyor.
Toplam 9 kitap olduğu için 9 faktöriyel hesaplanıyor.
Matematik kitapları için 10 aradan 3 tanesi seçiliyor ve seçilen 3 matematik kitabı kendi içinde yer değiştirebiliyor, bu nedenle 3 faktöriyel çarpı 3 faktöriyel hesaplanıyor.
43:59Kitap Sıralama Problemleri: Dokuz matematik kitabı arasında herhangi iki matematik kitabı yan yana gelmeyecek şekilde sıralama problemi çözülüyor.
En başa matematik, en sona kimya kitabı gelmesi şartıyla sıralama problemi için 3 matematik kitabı 10 aralığa yerleştiriliyor, sonra 4 kimya kitabı ve geriye kalan 10 kitap kendi arasında sıralanıyor.
En başa matematik gelsin, en sona matematik gelmesin şartıyla sıralama problemi için 3 matematik kitabı 10 aralığa yerleştiriliyor, sonra 9 kitap (fizik ve kimya dahil) kendi arasında sıralanıyor.
50:01Tekrarlı Permütasyon: Tekrarlı permütasyon, tüm kıl soruların geldiği yerdir ve önceki permütasyonun aynısını kullanarak tekrar edenlerin faktöriyelini bölerek hesaplanır.
Tekrarlı permütasyon formülü: n faktöriyel bölü tekrar edenlerin adetlerinin faktöriyelidir.
Örneğin, 5 çocuk (2 tanesi ikiz) kendi arasında düz bir sırada kaç farklı şekilde oturur sorusunun cevabı 5 faktöriyel bölü 2 faktöriyeldir.
52:35Kara Kartal Harfleri Problemi: Kara kartal harfleri yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılacağı problemi çözülüyor.
Harfler arasında 4 tane a, 2 tane k, 2 tane r, 1 tane t ve 1 tane l tekrar eden harfler bulunuyor.
Toplam 10 harf olduğu için çözüm 10 faktöriyel bölü 4 faktöriyel çarpı 2 faktöriyel çarpı 2 faktöriyel şeklinde yapılır.
53:46Permütasyon Problemleri: Sesliler yan yana olan harflerin permütasyonu hesaplanırken, tekrar eden harfler paydaya yazılır.
K ile başlayıp AR ile biten harflerin permütasyonu hesaplanırken, K ve AR birbirine bağlanır ve geriye kalan harflerin permütasyonu hesaplanır.
K'dan hemen sonra A gelen harflerin permütasyonu hesaplanırken, K ve A birbirine bağlanır ve geriye kalan harflerin permütasyonu hesaplanır.
59:07Rakamların Yer Değiştirilmesi Problemleri: 1, 1, 5, 2 rakamlarının yerleri değiştirilerek yedi basamaklı sayılar yazılırken, sıfırın birler basamağına gelmemesi şartıyla permütasyon hesaplanır.
Tek sayılar için 1, 1 ve 5 rakamları kullanılarak permütasyon hesaplanır.
Çift sayılar için sıfırlar ve 2 rakamları ayrı ayrı kullanılarak permütasyon hesaplanır.
1:04:41Şekilli Sorular: Çember veya daire üzerinde 8 nokta varsa, doğru çizmek için 8'in ikilisi hesaplanır.
Üçgen çizmek için 8'in üçlüsü hesaplanır.
Dörtgen çizmek için 8'in dörtlüsü hesaplanır.
1:05:28Doğru Çizimi Problemleri: Toplam 10 nokta var, bunların 4'ü doğrusal olduğunda kaç doğru çizilebileceği soruluyor.
Doğru çizimi problemlerinde kural: tüm durum eksi doğrusal noktalar çıkarılıyor.
10 noktadan 4 doğrusal çıkarıldığında 9 nokta kalıyor, 9'un ikilisi eksi 4'ün ikilisi artı 1 şeklinde hesaplanıyor.
1:08:04Üçgen Çizimi Problemleri: Üçgen çizimi problemlerinde toplam noktaların üçlüsü alınır.
Doğrusal noktalar üçgen belirtmediği için çıkarılır.
Üçgenlerde artı olayı yoktur, sadece doğrusallarda artı olayı vardır.
1:09:35Dörtgen Çizimi Problemleri: Dörtgen çizimi problemlerinde toplam noktaların dörtlüsü alınır.
Çember üzerindeki noktalar aynı doğru oluşturduğu için çıkarılır.
Dörtgen çizmek için iki noktayı bir çemberden, iki noktayı diğer çemberden seçmek gerekir.
1:11:46Özel Durumlar: Doğru sayısı problemlerinde doğru sayısı doğrudan sayılır.
Aynı noktadan çıkan doğrular üçgen belirtmediği için çıkarılır.
Aynı noktadan çıkan 3 veya daha fazla doğru varsa çıkarılabilir, daha az doğru varsa çıkarılamaz.
1:13:49Sekmeli Sorular: Sekmeli sorularda, ne kadar boşluk varsa o kadar üçgen vardır.
Sekmeli sorularda bakışlardaki boşluk sayısı, üçgen sayısı birbirine eşittir.
Kat kat üçgen sorularında, en üstteki katı üç ile çarpmak yeterlidir.
1:16:02Olasılık Kavramı: Olasılık, permütasyon ve kombinasyonun devamıdır ve bunları iyi bilmek gerekir.
Olasılık formülü: İstenen durum bölü tüm durumdur (İT metodu).
Sorunun girişi her zaman tüm durumdur, soru işaretinin yanındaki de istenen durumdur.
1:19:29Olasılık Örnekleri: Evde musluğun akıp akmadığını kontrol etmeye deney denir.
Bir deneyin sonucunda elde edilen verilere çıktı denir.
Bir deneyde elde edilen tüm çıktıların kümesine örnek uzay denir ve E harfi ile gösterilir.
1:21:03Olay Kavramı: Olay, istenen durumdur.
İmkansız olay, gerçekleşemeyecek durumdur (örneğin bir zar attığında iki basamaklı sayı gelme).
Kesin olay, gerçekleşecek durumdur (örneğin bir zar attığında rakam gelme).
1:23:51Olasılık Değerleri: Olasılıklar P harfi ile gösterilir.
Olasılıklar sıfır ile bir arasında değişir.
P(A)=1 ise kesin olay, P(A)=0 ise imkansız olaydır.
1:24:42Paralel Ayrıtlar Problemi: Bir geometrik şekle rastgele iki ayrıt seçiliyor ve bu ayrıtların birbirine paralel olması isteniyor.
Şekilde toplam 12 ayrıt bulunuyor ve tüm durum 12'nin 2'si kombinasyonu ile hesaplanıyor.
Paralel ayrıtlar dört dikey, dört sağa-sola bakan ve dört öne-arkaya bakan ayrıtlardan oluşuyor, her gruptan seçilen iki ayrıt birbirine paraleldir.
1:26:59Top Çekme Problemleri: Bir kutuda 3 mavi, 4 sarı ve 5 kırmızı top bulunuyor ve çekilen top geri atılmıyorsa standart formül kullanılıyor.
Üç top çekildiğinde tüm durum 12'nin 3'lüsü kombinasyonu ile hesaplanıyor.
Üç topun aynı renkte olması durumunda, mavi, sarı veya kırmızı olma olasılıkları ayrı ayrı hesaplanıp toplanıyor.
1:28:46Farklı Renklerde Top Çekme: Üç topun farklı renkte olması durumunda, önce bir renk seçiliyor, sonra diğer iki renk için farklı kombinasyonlar hesaplanıyor.
Bir sarı, iki mavi, üç kırmızı olma olasılığı için önce sarı, sonra mavi, sonra kırmızı çekme olasılıkları hesaplanıyor.
Ortada bir şart varsa (birincisi, ikincisi, üçüncüsü) formül kullanılmaz, teker teker çözüm yapılır.
1:30:27Top Çekme Problemlerinde Geri Atma: Çekilen top geri atılıyorsa, her top için ayrı olasılık hesaplanır ve toplanır.
Üç topun aynı renkte olması durumunda, her renk için ayrı olasılık hesaplanır ve toplanır.
Üç topun farklı renkte olması durumunda, önce bir renk seçiliyor, sonra diğer iki renk için farklı kombinasyonlar hesaplanıyor ve faktöriyel ile bölünür.
1:33:56İki Torbadan Top Çekme Problemi: İki torbadan top çekme probleminde, birinci torbadan çekilen top ikinci torbaya atılıyor ve ikinci torbadan çekilen topun mavi olma olasılığı hesaplanıyor.
Birinci torbadan mavi çekildiğinde, ikinci torbadan mavi çekme olasılığı 5/10 olarak hesaplanıyor.
Birinci torbadan sarı çekildiğinde, ikinci torbadan mavi çekme olasılığı 4/10 olarak hesaplanıyor.
1:36:11Renk Bakımından İlk Durumun Korunması: Renk bakımından ilk durumun korunması, her iki torbadan çekilen topların aynı renk olması anlamına gelir.
Her iki torbadan birer top çekildiğinde, mavi gelme ihtimali 3/7 × 4/9 veya sarı gelme ihtimali 4/7 × 5/9 olarak hesaplanır.
Her iki torbadan bir top çekildiğinde, renk bakımından ilk durumun korunması için birinci torbadan bir top alınıp ikinciye, sonra ikinciden bir top alınıp birinciye atılması gerekir.
1:38:47Koşullu Olasılık Örnekleri: İkiz zar atıldığında, üst düzeye gelen sayıların 3'ten büyük olduğu biliniyorsa, tüm durum 3 × 3 = 9 olur ve ardışık sayılar için 4/9 olasılığı bulunur.
Rastgele iki top çekildiğinde, iki top da aynı renk olduğu biliniyorsa, tüm durum 3'ün ikilisi + 4'ün ikilisi + 5'in ikilisi olur ve ikisinin de mavi olma olasılığı 3'ün ikilisi olarak hesaplanır.
İki topun farklı renk olduğu biliniyorsa, birinin mavi birinin sarı olma olasılığı 3'ün biri × 4'ün biri olarak hesaplanır.
1:43:44Küme Problemleri: Bir sınıftaki öğrencilerin %50'si matematik, %70'i fizik, %30'u her iki dersten geçmiştir.
Sınıftan rastgele bir öğrenci seçildiğinde, fizikten kalan bir öğrenci olma olasılığı 3/10'dur.
ABC'de E, F, A alt kümelerinin birer karta yazılı bir kutuya atıldığında, çekilen kartın üç elemanlı olduğu biliniyorsa, A'nın bulunup E'nin olmadığı alt küme sayısı 4'ün ikilisi olarak hesaplanır.
1:47:42Binom Açılımı: Binom açılımı, (x+y) üzerinden yapılan açılımlardır ve açılımlarda n+1 tane terim vardır.
Binom açılımı, x+y'nin karesi, küpü gibi tüm çarpanlara ayırma işlemlerinde kullanılır.
Binom açılımında x'in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa, baştan dördüncü terim n'in üçlüsü çarpı x üzeri n-3 çarpı y üzeri 3'tür.
1:49:03Binom Açılımında Terimlerin Bulunması: Sondan yedinci terim, n'in altısı çarpı y üzeri n-6 çarpı x üzeri 6'dır.
Ortanca terim, n'in yarısı çarpı x üzeri n/2 çarpı y üzeri n/2'dir ve n'in çift olması gerekir.
Binom açılımında sorular genellikle ortanca terim, sabit terim veya belirli bir terim bulma şeklinde gelir.
1:50:33Binom Açılımında Terimlerin Çözümü: Sabit terim bulmak için, x'lerin birbirini götürmesi için x'lerin üslerini eşitleyip, ortak çarpanı bulmak gerekir.
Belirli bir terim bulmak için, x'in üslerini eşitleyip, katsayıları hesaplamak gerekir.
Binom açılımında x küpü, x kareli ve x üzeri dört gibi terimlerin katsayıları, x'in üslerine göre hesaplanır.

10. Sınıf Matematik Dersi: Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık

Yapay zekadan makale özeti

Yanıtı değerlendir