Gödel, iki önemli teoremi kanıtlamıştır: 1. Eksiklik Teoremi: Herhangi yeterince güçlü ve tutarlı bir matematiksel sistemin, içinde ispatlanamayan ama doğru olan önermelere sahip olacağını söyler. 2. Kendi Tutarlılığını İspatlama İmkansızlığı: Bir sistemin kendi tutarlılığını, o sistemin içinden çıkıp dışarıdan ispatlamanın gerekli olduğunu ortaya koymuştur. Bu teoremler, 20. yüzyılın en çarpıcı mantıksal keşiflerinden biri olarak kabul edilir ve hem matematik hem de felsefe alanlarında derin etkiler yaratmıştır.