Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik eğitim dersidir. Eğitmen, simpleks algoritması ve lineer programlama konularını adım adım anlatmaktadır.
- Videoda, lineer programlama problemlerinin simpleks yöntemiyle çözümü detaylı olarak gösterilmektedir. Önce problem standart hale getirilip başlangıç tablosu oluşturulur, ardından tablo güncelleme işlemleri, pivot eleman seçimi, minimum oran testi ve optimal çözüm bulunma süreci adım adım anlatılır. Ders, optimal tablonun elde edilmesi ve çözümün yorumlanmasıyla sonlanır.
- Videoda ayrıca, karar değişkenleri (x1, x2) ve kısıtlar (s1, s2, s3, s4) hakkında yorumlar yapılırken, kısıtların kıt veya bol kaynak olduğu belirtilir. Duyarlılık analizi konusunun ileride ele alınacağı da belirtilmektedir.
- Simplex Algoritması Dersinin Devamı
- Geçtiğimiz hafta simplex algoritması bilgisayar üzerinde gösterilmiş, ancak elle çözüm gösterilmemişti.
- Bu hafta, maksimizasyon problemi için elle çözümü gösterilecek ve daha sonra bilgisayar çözümü hakkında bilgi verilecek.
- Öğrencilere tavsiye ediliyor ki, kağıt kalem alarak birlikte problemi çözmeye çalışsınlar.
- 01:17Matematiksel Modelin Standart Hale Getirilmesi
- Ele alınan problem, Hamdi Taha'nın "Operations Research" kitabında yer alan standart bir problem.
- Simplex algoritması için standart hale dönüştürme işlemi gerekiyor.
- Kısıtlardaki küçük eşitsizlikler için sol tarafa dolgu değişkenleri (s1, s2, s3, s4) ekleniyor.
- 04:36Standart Hale Getirme İşlemi
- Eklenen dolgu değişkenleri (s1, s2, s3, s4) için negatif olmama koşulu (≥0) belirtiliyor.
- Amaç fonksiyonunda da yeni değişkenlerin gösterilmesi gerekiyor.
- Amaç fonksiyonu da eşitlik halinde yazılmalı ve başlangıç tablosuna geçilebilir hale getirilmeli.
- 06:53Başlangıç Tablosunun Oluşturulması
- Başlangıç tablosunda standart hale getirilmiş problem bir tabloya aktarılıyor.
- Tabloda "temel değişkenler" ve "sağ yan değerleri" (solution values veya RHS) sütunları bulunuyor.
- Tabloda z değişkeni, x1, x2, s1, s2, s3 ve s4 değişkenleri sıralanıyor.
- 09:12Başlangıç Tablosunun Oluşturulması
- Birinci kısıtta z'nin katsayısı 1, x₁'in katsayısı 6, x₂'nin katsayısı 4, s₁'in katsayısı 1, sağ yan değeri 24 olarak belirleniyor.
- İkinci kısıtta z'nin katsayısı 1, x₁'in katsayısı 1, x₂'nin katsayısı 2, s₁'in katsayısı 2, s₂'nin katsayısı 1, sağ yan değeri 6 olarak belirleniyor.
- Üçüncü kısıtta s₃'e katsayı -1, s₄'e katsayı 1, sağ yan değeri 1 olarak belirleniyor.
- Dördüncü kısıtta x₁'in katsayısı 1, x₂'nin katsayısı 1, s₄'in katsayısı 1, sağ yan değeri 2 olarak belirleniyor.
- 11:06Tablonun Optimal Olup Olmadığının Kontrolü
- Başlangıç tablosu oluşturulduktan sonra, tablonun optimal olup olmadığı kontrol ediliyor.
- Maksimizasyon problemi için Z satırında eksi değerlerin olmaması gerekiyor, ancak Z satırında -5 ve -4 değerleri bulunuyor.
- Z satırındaki -5 ve -4 değerleri, x₁ ve x₂ değişkenlerinin bir birim arttığında Z değerinin artacağı anlamına geliyor, bu da tablonun optimal olmadığını gösteriyor.
- Sağ yan değerlerinin hepsinin pozitif olması nedeniyle tablo olumlu çözüm sunuyor.
- 13:28Yeni Tablo Oluşturma
- Tablonun optimal olmadığı için yeni bir tablo oluşturulması gerekiyor, bunun için temel değişkenlerde değişiklik yapılıyor.
- Giren değişken olarak x₁ seçiliyor çünkü x₁ değişkeninin amaç fonksiyonundaki katsayısı mutlak değer olarak x₂ değişkeninin katsayısından daha büyük.
- Çıkan değişken olarak s₂ seçiliyor çünkü x₁ sütunundaki değerlerle sağ yan değerlerin bölünmesi sonucunda en küçük pozitif oran 1 olarak bulunuyor.
- Anahtar satır olarak s₂ satırı, anahtar sütun olarak x₁ sütunu belirleniyor.
- 17:32Tablo Düzenleme İşlemleri
- İlk adım olarak anahtar elemanın 1 olması sağlanıyor, bunun için s₂ satırındaki değerler 6'ya bölünüyor.
- Z satırındaki x₁ değişkeninin katsayısı 1 yapmak için, yeni oluşan s₂ satırı 5 ile çarpılıp Z satırıyla toplanıyor.
- s₂ satırındaki x₁ değişkeninin katsayısı 0 yapmak için, yeni oluşan s₂ satırı -1 ile çarpılıp s₂ satırıyla toplanıyor.
- s₃ satırındaki x₁ değişkeninin katsayısı 0 yapmak için, yeni oluşan s₂ satırı 1 ile çarpılıp s₃ satırıyla toplanıyor.
- s₄ satırındaki x₁ değişkeninin katsayısı zaten 0 olduğu için değişiklik yapılmıyor.
- 24:30Optimal Tablo Kontrolü
- Optimal tablo için temel dışı değişkenlerde negatif değer görmemek gerekiyor.
- X1 değişkeni şartı sağlamış, X2 hala sağlamamış durumda.
- X2 değişkeni bir değişken olarak seçilmeli ve minimum oran testi yapılmalı.
- 25:17Minimum Oran Testi ve Tablo Güncelleme
- Minimum oran testinde S2 değişkeni en küçük değere sahip olduğu için giren değişken olarak seçiliyor.
- Yeni tablo oluşturmak için anahtar eleman (pivot eleman) bir haline getirilmeli.
- Çıkış değişkeni (S1) ve giriş değişkeni (X2) sütunlarındaki değerler bir olacak şekilde yazılmalı.
- 29:53Tablo Değerlerinin Hesaplanması
- Yeni tablo oluşturulurken, S1 satırı için 3/2 ile çarpıp toplama işlemi yapılıyor.
- X1 satırı için 3/1 ile çarpıp toplama işlemi yapılıyor.
- S3 satırı için -5/3 ile çarpıp toplama işlemi yapılıyor.
- 40:06Optimal Tablo Sonucu
- Yeni tablo oluşturulduktan sonra, Z satırında temel dışı değişkenlerin katsayılarına bakılıyor.
- S1'in katsayısı 1/2 olup, 0'dan büyüktür.
- Z satırında temel dışı değişkenlerin katsayısı pozitif olduğu için bu tablo optimaldir.
- 41:43Optimal Tablonun Değerlendirilmesi
- Optimal tabloya ulaşıldı ve katsayıların pozitif olması nedeniyle olurlu bir çözüme sahip olduğu belirlendi.
- Optimal tablo bulunduğunda, bu tablo problemin çözümü için kullanılır ve tablodaki değerler okunarak çözüm çıkarılır.
- Tabloda temel değişkenler (çözümde olan değişkenler) ve tüm değişkenler yer alır.
- 43:01Çözümün Yorumlanması
- Çözümde Z (amaç fonksiyonu) değeri 21, x1 değeri 3, x2 değeri 3,2, s3 değeri 5/2 ve s4 değeri 1/2 olarak bulundu.
- x1'den 3 birim ve x2'den 3,2 birim kullanıldığında amaç fonksiyonu 21 değerine ulaşır ve bu maksimum değer olduğu için daha fazla kazanç elde edilemez.
- s3 ve s4 kısıtlarında boşluk (kullanılmamış yer) varken, s1 ve s2 kısıtları tamamen kullanılmış durumdadır.
- 46:05Kaynakların Değerlendirilmesi
- s1 ve s2 kısıtları tamamen kullanılmış olduğu için "kıt kaynak" olarak değerlendirilir ve bu kaynaklarda artış yapılmalıdır.
- s3 ve s4 kısıtlarında boşluk olduğu için "bol kaynak" olarak değerlendirilir ve bu kaynaklarda tasarruf yapılabilir.
- Dört kısıt incelenerek hangi kaynakların kıt, hangi kaynakların bol olduğu belirlenmiştir.
- 47:10Problemin Çözüm Süreci
- Problemin çözümü, matematiksel modelden başlayarak standart hale getirilmesi, başlangıç tablosuna dönüştürülmesi ve olurlu çözüm kontrolüyle başlar.
- Anahtar elemanı belirleyip birim vektörü oluşturmak için satır-sütun işlemleri ve minimum oran testi yapılır.
- Yeni tablo oluşturulduktan sonra optimal kontrolü yapılır ve optimal tablo bulunursa sonuçlar çıkarılır.