Buradasın

Mekanik Mühendislikte Atalet Momentleri ve Asal Eksenler Dersi

youtube.com/watch?v=a6ir9Hp6508

Yapay zekadan makale özeti

Kısa
Ayrıntılı

Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan mühendislik eğitim dersidir. Eğitmen, atalet momentleri ve asal eksenler konusunu detaylı şekilde anlatmaktadır.
Video, çarpım atalet momenti (Ixy) kavramından başlayarak, kartezyen koordinat sistemlerinde atalet momentlerinin dönüşümünü, asal atalet momentlerini ve dönüşüm çemberi (Mor Çember) kavramını kapsamaktadır. İçerik, teorik bilgilerin yanı sıra dikdörtgen ve üçgen kesitler için pratik hesaplama örnekleri de içermektedir.
Videoda, paralel eksen teoremi, atalet momentlerinin dönüşüm denklemleri, asal eksenlerin açısal konumlarının hesaplanması ve mor çember kullanarak atalet momentlerinin belirlenmesi gibi konular adım adım açıklanmaktadır. Özellikle simetrik olmayan eğilme problemlerini çözmek için gerekli temel bilgiler sunulmaktadır.

00:05Dersin Amacı ve İçeriği: Ders, çarpım atalet momenti, atalet momentlerinin dönüşümleri ve asal eksenler konusunu ele alacaktır.
Önceki derslerde integrasyon yöntemi ve bileşik alan yöntemiyle atalet momenti hesaplanırken, bu derste çarpım atalet momenti öğreneceğiz.
Eğilme momenti kiriş kesitinin asal eksenlerini içeren düzlem içerisinde etki etmiyorsa, asal eksenleri bulup eğilme momentini asal eksenlere iz düşürerek hesaplamak gerekmektedir.
03:03Çarpım Atalet Momenti: Çarpım atalet momenti (Ixy) alanı üzerinden integral x çarpı y çarpı da şeklinde tanımlanır.
Çarpım atalet momentinin birimi metre üzeri dört veya milimetre üzeri dört olup, integralin içi dördüncü dereceden uzunluğun dört üssünü içeren bir ifadedir.
Simetri ekseni olan bir kesitin simetri eksenlerine göre çarpım atalet momenti (Ixy) sıfırdır çünkü simetri ekseni etrafında her da elemanı için x çarpı y çarpı da ifadesi sıfıra eşittir.
08:04Paralel Eksen Teoremi: Paralel eksen teoremi, kesit merkez dışındaki paralel eksene göre atalet momentini hesaplamak için kullanılır.
Kesit merkez dışında bulunan bir eksen takımına göre çarpım atalet momenti, kesit merkezinde konumlanmış paralel eksen takımına göre çarpım atalet momenti ile x çarpı y çarpı A toplamına eşittir.
Bu ifade çarpım atalet momenti için paralel eksen teoremi ifadesidir.
11:46Asal Eksenler ve Asal Atalet Momentleri: Asal eksenler ve asal atalet momentleri konusunu öğrenmek için önce atalet momenti dönüşümlerini öğrenmek gerekmektedir.
Verilen bir eksen takımına göre hesaplanan atalet momenti değerleri, aynı koordinat merkezi etrafında döndürülmüş yeni eksen takımına göre hesaplanabilir.
Yeni eksen takımına göre atalet momenti bileşenlerini yeni bir integral işlemi yapmadan hesaplamak için gerekli formülasyonlar çıkarılacaktır.
14:17Dönüşüm Denklemleri: Yeni eksen takımına göre x' ve y' koordinat değerleri, geometrik analizden x' = x·cos(θ) + y·sin(θ) ve y' = y·cos(θ) - x·sin(θ) şeklinde ifade edilebilir.
Kartezyen atalet momentleri Ix, Iy ve Ixy biliniyorsa ve koordinat eksenlerinin dönme açısı θ verilmişse, yeni eksen takımının atalet momentleri (Ix', Iy', Ix'y') hesaplanabilir.
Dönüşüm denklemleri Ix', Iy' ve Ix'y' için Ix, Iy, Ixy ve trigonometrik fonksiyonlar (cos²θ, sin²θ, cos(2θ), sin(2θ)) kullanılarak ifade edilebilir.
20:08Dönüşüm Denklemlerinin Özellikleri: Ix' + Iy' = Ix + Iy denklemi, kutupsal atalet momentinin (J) kartezyen atalet momentlerinin toplamı olduğunu ve koordinat sisteminin dönüş açısına bağımsız olduğunu gösterir.
Dönüşüm denklemleri Ix' ve Ix'y' için bir çemberin parametrik denklemleridir; (Ix' - I_ortalama)² + (Ix'y')² = r² şeklinde ifade edilebilir.
Bu çember denklemi, Ix' ve Ix'y' değerlerinin θ açısının değişmesiyle çember üzerinde hareket ettiği anlamına gelir.
27:30Dönüşüm Çemberi ve Denklemi: Merkez koordinatı ı ortalama ve yarıçapı r olan bir çemberin denklemi x-a² + y² = r² şeklinde ifade edilir.
8. denklem, x yerine i x², a yerine i ortalama, y yerine i x² y² yerleştirilerek bir çember denklemi oluşturur.
Bu çember, merkez koordinatı y ekseninden a kadar uzakta ve yarıçapı r olan, pozitif yönde a kadar kaymış bir çemberin denklemidir.
28:36Dönüşüm Çemberindeki Noktalar: Dönüşüm çemberi i x², x², y² düzlemi üzerinde çizilir ve herhangi bir i x² ve i x² y² değerleri seti için çember üzerinde bir nokta bulunur.
Teta açısı değiştikçe, çember üzerinde farklı noktalar temsil edilir ve dönüşüm denklemlerinde kosinüs 2teta ve sinüs 2teta çarpanları kullanılır.
Gerçek düzlemde teta kadar dönüş yapmak, dönüşüm çemberinde 2teta kadar dönüş yapmaya karşılık gelir.
33:45Asal Eksenler ve Asal Atalet Momentleri: Çember üzerinde teta açısını değiştirdikçe, minimum ve maksimum noktalardan geçilir ve bu noktalarda çarpım atalet momentinin değeri sıfırdır.
Bu noktalara asal eksenler denir ve bu noktalardaki iA ve iB değerlerine asal atalet momentleri denir.
Asal eksenlerde x² y² = 0 olduğundan, bu eksen takımlarında çarpım atalet momenti sıfırdır.
36:05İy² Değerinin Hesaplanması: Gerçek düzlemde teta kadar dönüş yapmak, dönüşüm çemberinde 2teta kadar dönüş yapmaya karşılık gelir.
x² ve y² eksenleri arasında saatin ters yönünde 90 derece açısal fark olduğundan, çember üzerinde 180 derece döndüğünde i y² değeri hesaplanabilir.
Çember üzerinde i x² ve i y² birbirinden tam 180 derece uzaktadır.
37:39Asal Eksenlerin Konumunu Belirleme: Asal eksenlerin konumunu bulmak için i x² y² = 0 olacak şekilde teta açısı bulunmalıdır.
i x² y² ifadesi 6. denklem ile sinüs 2teta bölü kosinüs 2teta = tanjant 2teta olarak hesaplanır ve eksi 2i x y bölü i x - i y formülüyle asal eksenlerin açısal konumları belirlenir.
Bu formül iki adet birbirinden 180 derece uzaklıkta bulunan iki teta maksimum değeri verir.
39:30Asal Atalet Momentlerinin Hesaplanması: Çemberin merkezi i ortalama değerinde bulunur ve i ortalama = (i x + i y) / 2 formülüyle hesaplanır.
i ortalama değerine çemberin yarıçapını ekleyerek i maksimum (iA) değeri, yarıçapı çıkararak minimum atalet momenti (iB) değeri bulunur.
Asal atalet momentleri i ortalama ± r formülüyle hesaplanır ve geometrik merkezde hesaplandığında merkezi asal atalet momentleri olarak adlandırılır.
42:04Örnek Problem: Dik üçgen için x-y eksenlerine göre çarpım atalet momenti ve geometrik merkezden geçen merkezi eksenlere göre çarpım atalet momenti hesaplanacaktır.
İntegral hesaplamasında dikey veya yatay şerit diferansiyel eleman kullanılır.
Bir x konumunda konumlanmış dikey şerit elemanının çarpım atalet momenti, elemanın kendi merkezinden geçen eksen takımına göre olan çarpım atalet momenti ve merkezin eksenlerden uzaklıkları ile hesaplanır.
43:31Dikdörtgen Kesitinin Çarpım Atalet Momenti: Dikdörtgen kesitinde, merkezinden geçen x-y eksen takımına göre çarpım atalet momenti (Ixy) sıfırdır çünkü bu eksenler simetri eksenleridir.
Dikdörtgenin alan sınırını tanımlayan doğrunun denklemi y = h(1-x/b) şeklindedir ve diferansiyel alan değeri y.dx = h(1-x/b).dx olarak hesaplanır.
Tabandan geçen x ekseni ve sol dik kenardan geçen y eksenine göre çarpım atalet momenti Ixy = bh²/24 olarak hesaplanır.
46:11Merkezi Eksenlere Göre Çarpım Atalet Momenti: Geometrik merkezden geçen ve x-y eksenlerine paralel olan merkezi eksenlere göre çarpım atalet momenti hesaplanırken paralel eksen teoremi kullanılır.
Merkezi eksenlere göre çarpım atalet momenti Ixy = -bh²/72 olarak hesaplanır ve çarpım atalet momenti eksi değer alabilir.
48:07Asal Eksenlerin Hesaplanması: Verilen kesit için x ve y eksenlerine göre atalet momentleri (Ix, Iy) verilmiş durumda, ancak çarpım atalet momenti (Ixy) bilinmiyor.
Kesit üç parçaya (iki yatay dikdörtgen ve bir dikey dikdörtgen) bölünerek her alanın merkezine göre çarpım atalet momenti hesaplanır.
Asal eksenlerin açısal konumları tan(2θm) = -2Ixy/(Ix-Iy) formülüyle hesaplanır ve bu örnekte 37,70° ve 127,70° değerleri bulunur.
54:29Asal Atalet Momentleri ve Mor Çember: Asal atalet momentleri Imax ve Imin, Ix ve Iy değerleri kullanılarak hesaplanır ve bu değerler asal eksenlere tekabül eder.
Atalet momenti dönüşüm denklemleri, eksen döndürülmüş eksen takımına göre bir çember üzerinde hareketi temsil eder.
Bu çember, Alman mühendis Ottomor'e atfen "Mor Çemberi" olarak adlandırılır.
58:28Atalet Momentlerinin Hesaplanması: Bir A alanı için u x, u y ve i x y değerleri integral hesaplamasıyla veya şekilleri bilinen temel geometrik alanlara bölerek hesaplanabilir.
Verilen atalet momentleri, dikdörtgen, üçgen, daire, yarım daire gibi temel geometrik alanlara bölünebilen şekiller için hesaplanabilir.
59:16Dönüşüm Çemberi Kullanımı: Verilen atalet momentleri için x-y eksen takımının merkezi etrafında teta açısı kadar döndürülmesi durumunda, yeni eksen takımının i x, i y ve i x y değerleri pratik şekilde hesaplanabilir.
Dönüşüm denklemleri bir çember denklemi olarak ifade edilir ve bu çember kullanılarak asal eksenlerin konumları (teta m) ve imax, imin değerleri hesaplanabilir.
1:01:25Dönüşüm Çemberinin Oluşturulması: Dönüşüm çemberi oluşturmak için yatay eksen üzerinde i x ve i y değerleri, dikey eksen üzerinde ise i x y değeri işaretlenir.
X ve Y noktaları, i x, i y ve i x y değerlerinin kesişim noktalarıdır ve bu noktalar çember üzerinde 180 derece uzaktadır.
Çemberin merkezi ve yarıçapı belirlendikten sonra çember tamamlanabilir.
1:05:24Çember Üzerinde Dönüşüm: X ekseninden teta kadar saatin ters yönünde dönmüş bir eksen takımına göre atalet momenti değerleri hesaplamak için, çember üzerinde çap doğrusu 2teta kadar döndürülür.
Yeni noktaların koordinatları, yatay eksendeki değerler i x ve i y, dikey eksendeki değerler ise i x y ve -i x y değerlerini gösterir.
Çap doğrusu saat yönünde 2teta kadar döndürüldüğünde, asal eksenlerin açısal konumları (teta m) ve ilgili atalet momentleri hesaplanabilir.
1:08:20Gerilme Dönüşümleri ile Karşılaştırma: Gerilme dönüşümlerinde sigma x, sigma y ve tav x y değerleri kullanılırken, atalet momentleri kullanımında i x, i y ve i x y değerleri kullanılır.
Atalet momentleri kullanımında X noktası için i x ve i x y pozitif işaretleriyle alınırken, gerilme dönüşümünde X noktası için sigma x ve -tav x y kullanılır.
Bu farklılık, çember üzerindeki dönüş yönünün gerçek düzlemdeki dönüş yönüyle uyumlu olması için yapılır.
1:10:24Örnek Problem: Verilen kesit için x ve y eksenlerine göre atalet ve çarpım atalet momentleri kullanılarak O noktasına göre asal eksenlerin açısal konumları hesaplanır.
X noktası için yatay eksen üzerinde 7,20, dikey eksen üzerinde -2,54 değerleri işaretlenir.
Y noktası için yatay eksen üzerinde 2,59, dikey eksen üzerinde 2,54 değerleri işaretlenir.
1:12:20Mor Çemberin Oluşturulması ve Asal Eksenlerin Hesaplanması: Çemberin merkezi, yatay ekseni kestiği D ve E noktalarının ortasıdır ve bu şekilde mor çember tamamlanabilir.
Asal eksenlere ulaşmak için çap doğrusunu saatin ters yönünde 2θm kadar döndürmek gerekir.
İ ortalama değeri D ve E noktalarının koordinatlarının toplamının yarısıdır ve 4,85×10^6 mm^4 değerindedir.
1:14:09Asal Eksenlerin Hesaplanması: CD değeri Ix eksi Iy bölü 2'dir ve 2,35×10^6 mm^4 değerindedir.
R değeri CD² artı DX² kareköküdür ve 3,430×10^6 mm^6 olarak hesaplanır.
Tanjant 2θm değeri DX bölü CD'dir ve 1,12 değerine sahiptir, bu da 2θm'yi 48,80 derece, θm'yi ise 23,90 derece olarak hesaplatır.
1:15:53Asal Atalet Momentlerinin Hesaplanması: İ maksimum değeri İ ortalama artı R'dir ve 8,33×10^6 mm^4 olarak hesaplanır.
İ minimum değeri İ ortalama eksi R'dir ve 1,47×10^6 mm^4 olarak hesaplanır.
Mor çember kullanılarak asal atalet momentleri bulunmuştur.
1:16:55Koordinat Sisteminin Dönüşü ve Yeni Eksenlerin Hesaplanması: Koordinat sistemi 60 derece saatin ters yönünde döndürüldüğünde, mor çember üzerinde XY çap doğrusu 120 derece döndürülür.
Yeni noktaların koordinatlarını hesaplamak için X'Y' çap doğrusunun X ekseni ile yaptığı açı (fi) 2θ eksi 2θm'dir ve 72,20 derece olarak hesaplanır.
İx' değeri İ ortalama artı R çarpı kosinüs fi'dir ve 5,94×10^6 mm^4 olarak hesaplanır.
1:20:45Yeni Eksenlerin Koordinatları: İy' değeri İ ortalama eksi R çarpı kosinüs fi'dir.
İx'y' değeri R çarpı sinüs fi'dir ve 3,27×10^6 mm^4 olarak hesaplanır.
Mor çember kullanılarak asal eksenler ve düzlemler hesaplandığı gibi, koordinat sisteminin herhangi bir açısıyla dönüşü sonucu oluşan yeni eksen takımına göre atalet momenti bileşenleri de pratik bir şekilde hesaplanmıştır.

Mekanik Mühendislikte Atalet Momentleri ve Asal Eksenler Dersi

Yapay zekadan makale özeti

Yanıtı değerlendir