• Buradasın

    Mekanik Mühendisliğinde Gerilme Dönüşümü ve Asal Gerilmeler Dersi

    youtube.com/watch?v=zbcCXIOqyOo

    Yapay zekadan makale özeti

    • Bu video, bir mekanik mühendisliği dersi formatında olup, bir eğitmen tarafından gerilme dönüşümü ve asal gerilmeler konusu anlatılmaktadır.
    • Ders, gerilme halinin farklı koordinat sistemlerine göre dönüşümünü, asal gerilmelerin (σ₁, σ₂, σ₃) ve asal düzlemlerin nasıl hesaplanacağını matematiksel formüller ve görsel açıklamalarla ele almaktadır. Video, gerilme halinin tensorel bir büyüklük olduğu kanıtı, traksiyon vektörleri, normal ve kayma gerilmeleri, yön kosinüsleri ve matris determinantları gibi kavramları içermektedir.
    • Ders boyunca, Koğuş formülü, ikinci derece tensör dönüşüm denklemi, Lagrange çarpanı ve kısmi türevler gibi matematiksel araçlar kullanılarak konu somutlaştırılmaktadır. Asal gerilmelerin üçüncü dereceden bir polinom denkleminin kökleri olarak elde edileceği ve normal gerilmelerin maksimum veya minimum değerlerini alan yönlerin nasıl bulunacağı adım adım gösterilmektedir.
    00:06Gerilme Dönüşümü Tanıtımı
    • Önceki derste gerilme, bileşenleri ve gerilme halinden bahsedilmiş, traksiyon vektörünün hesaplanması ve denge-hareket denklemleri çıkarılmıştır.
    • Bu derste gerilme dönüşümü konusu ele alınacak, verilen bir eksen takımındaki gerilme halinin başka bir eksen takımına nasıl dönüştürüleceği incelenecektir.
    • Asal gerilmeler tanıtılacak, bu maksimum veya minimum normal gerilmelerin kayma gerilmelerinin bileşenlerinin olmadığı düzlemlerde oluştuğu açıklanacaktır.
    02:03Gerilme Dönüşümü Denklemleri
    • Verilen bir gerilme hali (τij veya σij) için, bir yüzey üzerindeki traksiyon vektörü bileşenleri Ti = τij nj formülüyle hesaplanabilmektedir.
    • Gerilmenin ikinci derece tensör büyüklüğü olduğu ispatlanacaktır, bu dönüşüm denklemleri ile yapılacaktır.
    • Başlangıç koordinat eksen takımında (x1, x2, x3) tanımlı gerilme hali, yeni bir koordinat sisteminde (x1', x2', x3') nasıl tanımlanacağı incelenecektir.
    04:54Dönüşüm Probleminin Formülasyonu
    • Yeni koordinat sisteminde tanımlanmış bir prizma düşünülerek, x1', x2', x3' eksenlerine dik yüzeyleri olan bir prizma ele alınacaktır.
    • Prizmanın yüzeylerinde traksiyon vektörleri olacaktır ve bu vektörler normal ve kayma bileşenlerine ayrılabilir.
    • Orijinal koordinat sisteminde verilen gerilme hali bileşenleri (τij) kullanılarak, yeni koordinat sistemindeki yüzeylerdeki traksiyon bileşenleri hesaplanabilir.
    10:08Gerilme Bileşenlerinin Dönüşümü
    • Bir yüzeyin (n) gerilme bileşenleri (T₃₁, T₃₂, T₃₃) hesaplanırken, orijinal koordinat sistemindeki traksiyon vektörünün bileşenleri (T₁, T₂, T₃) kullanılır.
    • Yeni koordinat sistemindeki gerilme bileşenleri (T₃₁) hesaplanırken, orijinal koordinat sistemindeki bileşenlerle eksenler arasındaki mutlak açıların kosinüsü çarpılır.
    • Koğuş formülü kullanılarak traksiyon vektörü orijinal gerilme haliyle ilişkilendirilir ve yön kosinüsleri terimi ile yeni koordinat sistemindeki gerilme bileşeni hesaplanır.
    14:54İkinci Derece Tensör Dönüşüm Denklemi
    • Genelleştirilmiş formülde, herhangi bir yüzey (p) üzerindeki k bileşeni yeni koordinat sistemine göre Tₚₖ = Aₚⱼ Aₖₗ Tₗₗ şeklinde hesaplanır.
    • Bu formül ikinci derece tensör dönüşüm denklemidir ve Tₐₐ = Aₐₑ Aₐₗ Tₗₗ şeklinde de yazılabilir.
    • Dönüşüm denkleminde, yeni koordinat sistemindeki gerilme bileşenleri orijinal koordinat sistemindeki gerilme bileşenleriyle yön kosinüsleri çarpımlarıyla hesaplanır.
    18:19Gerilme Halinin Özellikleri
    • Gerilme hali, seçilen eksen takımına göre tanımlı gerilme bileşenlerini içerir ve tensorel bir büyüklüktür.
    • Gerilme bileşenleri ikinci derece tensor dönüşüm denklemine göre dönüşüme uğrarlar.
    • Yeni koordinat sistemindeki gerilme bileşenlerini hesaplamak için, yeni eksenlerin yön kosinüsleri ve orijinal koordinat sistemindeki gerilme hali bilinmesi yeterlidir.
    21:15Asal Gerilmelerin Tanımı
    • Uzayda bir noktada, dikdörtgen prizma veya küp şeklindeki gerilme elemanının üzerinde sadece normal gerilmelerin oluştuğu, kayma gerilmelerinin oluşmadığı bir eksen takımının bulunup bulunmadığı araştırılıyor.
    • Bu arayış, asal gerilmeler konusuna giriş olarak sunuluyor.
    • Gerilme birim alana etki eden bir büyüklük kuvvet büyüklüğü olarak tanımlanır ve bu nedenle dikdörtgen prizma yerine tetrahedron (dört yüzlü) eleman da kullanılabilir.
    24:23Asal Gerilmelerin Matematiksel Tanımı
    • Asal gerilme durumunda, traksiyon vektörü (yüzeye etki eden kuvvet) yüzeyin normali ile çakışır.
    • Bu durumda, yüzey normali ile traksiyon vektörünün bileşenleri aynı doğrultuda olur.
    • Bu özel durumda sadece normal gerilme oluşur ve kayma gerilmesi bileşenleri oluşmaz.
    26:35Asal Gerilmelerin Matematiksel Çözümü
    • Asal düzlemlerde traksiyon vektörü, yüzey normali ile aynı doğrultuda olur ve σ·n şeklinde ifade edilir.
    • Genel traksiyon vektörü formülü τ = σ·n eşitliği, asal düzlemlerde σ·n = σ·δij şeklinde yazılabilir.
    • Bu denklem, σ ve n1, n2, n3 bilinmeyenlerini içeren dört bilinmeyenli üç denklem sistemini oluşturur.
    32:29Asal Gerilmelerin Bulunması
    • Birim vektörün uzunluğunun bir olması, dördüncü denklem olarak n1² + n2² + n3² = 1 şeklinde yazılır.
    • Matris denklem takımı σij - σδij determinantının sıfıra eşit olması şartıyla çözülür.
    • Bu determinantın sıfıra eşit olması, σ küp - (normal gerilmelerin toplamı)σ² + ... = 0 şeklindeki üçüncü dereceden bir polinom denklemi verir ve bu denklemden üç adet asal gerilme değeri elde edilir.
    36:06Asal Gerilme Değerlerinin Bulunması
    • Asal gerilme değerleri, sigma alfa için yerine koyulduğunda, sigma alfanın etki ettiği yüzey normalinin üç yönü kosinüsleri denklem takımını kullanarak belirlenebilir.
    • A denklem takımının herhangi iki lineer bağımsız denklemi kullanılarak yön kosinüsleri bulunabilir, üçüncü denklem ise birim vektörün uzunluğunun 1 olması şartını içerir.
    • Sigma bir, sigma iki ve sigma üç gerilme değerleri ve ilgili asal düzlemlerin yön kosinüsleri (n bir, n iki, n üç) bu yöntemle hesaplanır.
    38:47Asal Düzlemlerin Diklik İspatı
    • Üç asal düzlem birbirlerine dik olduğunu göstermek için, başlangıçta hem normal hem kayma gerilmeleri olan bir gerilme elemanının, uzayda döndürüldüğünde her yüzeyinde sadece normal gerilme etkilediği kanıtlanır.
    • Sigma bir ve sigma iki farklı iki asal gerilme durumunda, kau formülünden sigma bir nü i bir eşittir taij newj i bir denklemi türetilir.
    • İndis değişimi ve skaler çarpım kullanılarak, bir nolu yüzeyin normal vektörü ile iki nolu yüzeyin normal vektörünün skaler çarpımının sıfır olduğu, bu vektörlerin birbirine dik olduğunu gösterir.
    46:49Asal Gerilmelerin Gerçek Sayı Olması
    • Asal gerilmelerin gerçek sayılar olup olmadığı ispatlanır; ta-ij bileşenlerinin gerçek olduğu ve c denkleminin katsayılarının gerçek olduğu belirtilir.
    • Sigma bir gerçek kök değeri olduğu için, asal düzlemlerin eksenleri öyle olmalıdır ki ta bir bir üssü eşittir sigma bir ve ta bir iki, ta bir üç üssü sıfırdır.
    • İkinci dereceden polinom denkleminin kökleri hesaplanarak, sigma iki ve sigma üç değerlerinin de gerçek sayı olduğu, asal gerilme değerlerinin daima gerçek sayılar olduğu sonucuna varılır.
    52:04Gerilme Halinin Koordinat Sisteminden Bağımsızlığı
    • Verilen bir P noktası için, τij gerilme bileşenleri σ1, σ2, σ3 asal gerilmeleri ve ilgili yön kosinüslerini bulmak mümkündür.
    • Asal gerilme ve düzlemleri, nokta için gerilme halini veren koordinat sisteminin yönünden bağımsızdır.
    • Farklı koordinat sistemlerinde bile aynı asal gerilmeleri ve düzlemleri bulmak gerekir.
    54:35Gerilme Değişmezleri (İnvariantlar)
    • Asal gerilmeler σ1, σ2, σ3'ü elde eden polinom denkleminin katsayıları değişmezdir.
    • Gerilme değişmezleri (stres invariantlar) üç türdür: τ11+τ22+τ33, ikinci dereceden çarpımları ve karesini içeren terim, üçüncü dereceden çarpımları ve kareleri içeren terim.
    • Bu değişmezler, gerilme halinin determinantını oluşturur ve koordinat sisteminden bağımsızdır.
    57:34Asal Eksenlerin Özellikleri
    • Asal eksenlerin yakınındaki yönler, normal gerilmelerin maksimum veya minimum değerler aldığı yönlere tekabül eder.
    • Asal düzlemlerde kayma gerilmesi yoktur ve sadece normal gerilme etki eder.
    • Herhangi bir yüzey normali nü yönünde etki eden normal gerilme, τijnj formülüyle hesaplanır.
    59:58Normal Gerilmenin Maksimum Değerini Bulma
    • Normal gerilme τnn, traksiyon vektörü τi ile yüzey normali ni'nin iç çarpımından elde edilir.
    • Normal gerilmenin maksimum değerini bulmak için τijnj fonksiyonunun n1, n2 ve n3'e göre kısmi türevleri alınır.
    • Birim vektör şartı n1²+n2²+n3²=1 ile birlikte Lagrange çarpanı kullanılarak maksimum değer bulunur.
    1:05:34Matematiksel İfadeler ve Türevler
    • Birinci terim çarpı ikinci terimin kısmi türevi ve tam tersi ifadeler kullanılmıştır.
    • Sabit sayıların türevi sıfır olduğu için elde edilen denklem belirtilmiştir.
    • Kronoer delta etkisi sonucunda bazı terimler birbirini götürmüştür.
    1:07:49Tensor İşlemleri
    • Tao ij simetrik bir tensor olduğu için bazı terimlerde j yerine a yazılabilir.
    • Tao js newj ifadesi, verilen bir s durumu için j'nin 1'den 3'e kadar gittiği toplam şeklinde yazılabilir.
    • İşlemler sonucunda tao aa ve tao aas terimleri ortak parantez alınarak sadeleştirilmiştir.
    1:09:57Asal Gerilme Denklemi
    • Elde edilen denklem tao ies artı delta ies eşittir sıfır şeklinde ifade edilmiştir.
    • Bu denklem, asal gerilme tanımındaki sigma delta i n c eşittir sıfır denklemine benzerlik göstermektedir.
    • Asal gerilme için de aynı formda bir denklem elde edilmiştir.
    1:11:50Sonuçlar ve Yön Kosinüsleri
    • Denklem çözüldüğünde gerilme boyutunda birim çözüm elde edilecek ve üç kök (lamda bir, lamda iki, lamda üç) bulunacaktır.
    • Her köke tekabül eden üç tane yön kosinüsü olacak, toplam dokuz yön kosinüsü elde edilecektir.
    • Normal gerilmeyi ekstrem yapan yönler, asal gerilmelere tekabül eden yönlerdir.

    Yanıtı değerlendir

  • Yazeka sinir ağı makaleleri veya videoları özetliyor